1
J. Humlíček FKLii
5. Spin-orbitální interakce, vrchol valenčního pásu
Stavy elektronu v atomu jsou ovlivněny vnitřním magnetickým polem, vznikajícím orbitálním pohybem.
Toto pole se snaží orientovat spinový magnetický moment. Jde o relativistický efekt, v limitě c → ∞ mizí.
Operátor spinu,
0 1 0 1 0
, , ,
1 0 0 0 1
  
     
       
     
x y z
i
i (5.1)
spin-orbitální interakce v Hamiltoniánu,
2 2
1
( ) .
2 2

   SOH V p
m c
(5.2)
Alternativní zápisy používají magnetický moment spojený se spinem elektronu,
= ,
2
B
e e S S
S
mc mc S S
 
 
  (5.3)
energii v magnetickém poli s intenzitou H,
2
,  SOH H (5.4)
intenzitu magnetického pole
.  
v
H E
c
(5.5)
Magnetický moment volného elektronu B (Bohrův magneton) je 9.2740154E-21 erg/gauss, v SI je to 9.2740154E-24 J/T (1 erg = 1E-7 J, 1
gauss = 1E-4 T), v jednotkách vhodnějších pro studium mikrostruktury hmoty je to zhruba 58 eV/T. Magnetické pole Země je při povrchu
v rozsahu 25-65 T, silné permanentní neodymové (neodymium-iron-boron) magnety dosahují až 1.3 T.
V izolovaném atomu je
( )( ) ( ) ,     SOH r r p S r L S (5.6)
kde L je orbitální moment hybnosti. Vezměme například atomový p-stav (l=1). Celkový moment hybnosti je
reprezentován operátorem
. J L S (5.7)
Skalární součin je
3
( ) ( ) ( ) ,            J J L S L S L L S S L S S L (5.8)
kde L a S komutují (operují v různých prostorech). Jejich průměty ml a ms ale nejsou dobrá kvantová čísla,
protože jsou propojeny SO interakcí, přičemž l a s zůstávají dobrými kvantovými čísly. Vhodnými
stavovými vektory pro ocenění velikosti součinu LS jsou tedy
, , , .jj l s m (5.9)
Ze vztahu (5.8) vychází pro diagonální maticový prvek čtverce celkového momentu hybnosti
2
2
( 1) ( 1) ( 1) ,      j j l l s s L S (5.10)
tedy hledaná střední hodnota součinu LS rovna
 
2
( 1) ( 1) ( 1) .
2
      L S j j l l s s (5.11)
Pro atomové p-stavy (l=1, s=1/2) je j=3/2 nebo 1/2, neboli
2
2
pro 3/ 2 , pro 1/ 2 .
2
      L S j L S j (5.12)
4
Spin-orbitální interakce tedy odštěpí energie stavů s celkovým momentem hybnosti 3/2 a 1/2.
Atomový s-stav není SO interakcí ovlivněn, zůstává spinová degenerace. Atomový d-stav se štěpí na 6-krát
degenerovaný D5/2
a 4-krát degenerovaný stav D3/2.
Atomová čísla a SO rozštěpení ve vrcholu valenčního pásu.
5
Pásová struktura Ge bez započtení SO interakce (Dresselhaus). Pozor
na valenční stavy s nejmenší energií.
6
Pásová struktura Ge se započtením SO interakce (Dresselhaus). Pozor
na valenční stavy s nejmenší energií.
Dvojné grupy – operace symetrie na spinové proměnné (rotace o 2 změní znaménko stavového vektoru).
7
Charaktery ireducibilních reprezentací dvojné grupy struktury ZnS ve
středu Brillouinovy zóny .
Disperze valenčních stavů („warping“):
2 2 4 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) .x y z y x zE k Ak B k C k k k k k k      (5.13)
8
Parametry valenčních pásů ve středu Brillouinovy zóny .
9
Kontury konstantní energie kolem středu Brillouinovy zóny .
Těžko- a lehkoděrový pás, efektivní hmotnost vystředovaná přes směry:
2
* 2 2
21 1
2 2 1 ,
15hh
C
A B
m B
  
      
    
(5.14)
2
* 2 2
21 1
2 2 1 .
15lh
C
A B
m B
  
      
    
; (5.15)