1
J. Humlíček FKL II
7. Příměsové stavy - appendix pro Si:P
Rozbor vlivu symetrie krystalového pole na donorové stavy grupa (Td)
Kohn-Luttinger, 1955
2
Výsledek pro degeneraci nejnižších stavů:
3
Schéma energiových hladin a výsledky variačního výpočtu:
4
Podrobný popis výpočtů
6 ekvivalentních minim vodivostního pásu ve směru  v Brillouinově zóně;
stavové vektory elektronu v nich označíme symboly:
 
 
 
pro minimum ve směru 100 ,
010 ,
001 ,
100 ,
x
y
z
x
y
  
010 ,
001 .z
  
  
Umístění donorového atomu ve středu pravidelného čtyřstěnu je naznačeno v následujícím obrázku. Grupou symetrie je Td (řádu 24) s třídami
E: identita,
8C3: rotace kolem diagonál (čárkovaně),
3C2: rotace kolem x,y,z,
6S4: rotace kolem x,y,z o ±/2, pak inverze (6IC4),
6d: zrcadlení (diagonální roviny).
Pravidelný čtyřstěn s vrcholy abcd obsazenými atomy Si, ve středu O je donorový atom.
5
Aplikace operací symetrie Td v šestirozměrném prostoru stavových vektorů
Tři operace C2 (příspěvek do charakteru je 2 – je to počet vrcholů, které zůstávají na místě):
2 2
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
,
0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
         
         
         
         
                    
         
         
          
         
         
x y
x x x x x
y y y y y
z z z z z
C C
x x x x x
y y y y y
z z z z z
2
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
,
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
     
        
        
        
                 
       
       
        
        
     
z
x x x
y y y
z z z
C
x x x
y y y
z z z
.
 
 
 
 
 
  
  
  
   
 
 
x
y
z
x
y
z
Šest operací d (příspěvek do charakteru je 2 – je to počet vrcholů, které zůstávají na místě):
1 2
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
,
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
dx dx
x x x x x
z y y z y
y z z y z
x x x x x
z y y z y
y z z y z
 
        
         
         
         
                    
         
         
          
         
        
1
1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
,
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
dy
x
y
z
x
y
z
z x
y y
x z
z x
y y
x z

  
   
   
   
       
   
   
    
   
  
   
   
   
   
    
   
   
   
   
    
   
2
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
, ,
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
dy
x z x x
y y y y
z x z z
x z x x
y y y y
z x z z
y
x

       
         
         
          
                     
          
          
             
         
       
1 2
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
,
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
dz dz
x x y x
y y x y
z z z z z
y x x y x
x y y x y
z z z z z
 
         
         
         
         
                    
         
         
          
         
         
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
.
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
x
y
z
x
y
z
 
   
   
   
       
   
   
    
   
 
6
Osm operací C3 (příspěvek do charakteru je 0 – je to počet vrcholů, které zůstávají na místě):
(rotace kolem Oc)
2
3 3
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
,
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
c c
z x x
x y y
y z z
C C
z x x
x y y
y z z
     
       
       
       
                
       
       
         
       
     
,









(rotace kolem Od)
2
3 3
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
,
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
d d
z x x
x y y
y z z
C C
z x x
x y y
y z z
     
       
       
       
                
       
       
         
       
     
,









(rotace kolem Oa)
2
3 3
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
,
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
a a
z x x
z y y
x z z
C C
y x x
x y y
y z z
     
       
       
       
                
       
       
         
       
     
,









(rotace kolem Ob)
2
3 3
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
,
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
b b
z x x
z y y
y z z
C C
y x x
x y y
x z z
     
       
       
       
                
       
       
         
       
     
,









Šest operací S4 (příspěvek do charakteru je 0 – je to počet vrcholů, které zůstávají na místě):
7
(rotace kolem x o /2, pak I)
4
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
x
x x x
z y y
y z z
S
x x x
z y y
y z z

     
       
       
       
                
       
       
        
      
     
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
,
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
x
y
z
x
y
z
 
  
  
  
     
  
  
    
   
 
(rotace kolem x o -/2, pak I)
4
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
x
x x x
z y y
y z z
S
x x x
z y y
y z z

     
       
       
       
                
       
       
        
      
     
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
,
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
x
y
z
x
y
z
 
  
  
  
     
  
  
    
   
 
(rotace kolem y o /2, pak I)
4
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
x
z x x
y y y
x z z
S
z x x
y y y
x z z

     
       
       
       
                
       
       
        
      
     
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
,
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
x
y
z
x
y
z
 
  
  
  
     
  
  
    
   
 
(rotace kolem y o -/2, pak I)
4
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
x
z x x
y y y
x z z
S
z x x
y y y
x z z

     
       
       
       
                
       
       
        
      
     
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
,
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
x
y
z
x
y
z
 
  
  
  
     
  
  
    
   
 
(rotace kolem z o /2, pak I)
8
4
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
z
y x x
x y y
z z z
S
y x x
x y y
z z z

     
       
       
       
                
       
       
        
      
     
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
,
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
x
y
z
x
y
z
 
  
  
  
     
  
  
    
   
 
(rotace kolem z o -/2, pak I)
4
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
z
y x x
x y y
z z z
S
y x x
x y y
z z z

     
       
       
       
                
       
       
        
      
     
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
,
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
x
y
z
x
y
z
 
  
  
  
     
  
  
    
   
 
9
Rozklad 6-rozměrné reducibilní reprezentace:
R6 = A1 + E + T2.
E 8C3 3C2 6d 6S4
R6 6 0 2 2 0
R6 - A1 5 -1 1 1 -1
R6 - A1-E 3 0 -1 1 -1
T2 3 0 -1 1 -1
10
Prověříme, že stavové vektory z následujícího přehledu jsou bázemi odpovídajících
ireducibilních reprezentací grupy Td:
1
2
: ( + + + + )/ 6 ,
: ( + )/2 , ( + + 2 2 )/ 12 ,
: ( )/ 2 , ( )/ 2 , ( )/ 2 .

    
  
A x x y y z z
E x x y y x x y y z z
T x x y y z z
A1 triviální.
E:
Tři operace C2:
2 2 2, , ,
           
           
           
           
             
           
           
           
           
           
           
x y z
x x x x x x
y y y y y y
z z z z z z
C C C
x x x x x x
y y y y y y
z z z z z z
tedy
2
1 0
,
0 12 2 2 2 2 2
               
                                
x
x x y y x x y y x x y y
C
x x y y z z x x y y z z x x y y z z
2
1 0
,
0 12 2 2 2 2 2
               
                                
y
x x y y x x y y x x y y
C
x x y y z z x x y y z z x x y y z z
11
2
1 0
,
0 12 2 2 2 2 2
               
                                
z
x x y y x x y y x x y y
C
x x y y z z x x y y z z x x y y z z
Šest operací d:
1 2 1, , ,  
           
           
           
           
             
           
           
           
           
           
           
dx dx dy
x x x x z x z
z y z y y y y
y z y z x z x
x x x x z x z
z y z y y y y
y z y z x z
2 1 2, , .  
           
           
           
           
             
           
           
           
           
           
           
dy dz dz
x y x y x
y x y x y
z z z z z
x y x y x
y x y x y
x z z z z z
tedy
1
1 1
2 2( 2 2 )/ 3 ( 2 2 )/ 3
1/ 2 3 / 2 1
,
2 ( 2 2 )/ 31/ 2 3 1/ 2

         
   
               
     
   
          
dx
x x z z x x y y
x x z z y y x x y y z z
x x y y
x x y y z z
atd.
12
Experimentální přiřazení infračervené absorpce přechodům mezi donorovými stavů, obsahuje také snížení symetrie jednoosým tlakem:
13
14
Infračervená absorpce od nízké do vysoké teploty, postupná ionizace příměsových stavů, nakonec převládne obsazení vodivostního
kontinua (měření UFKL 2008, FTIR Bruker IFS66, heliový kryostat, vzorky OnSemi Rožnov, zpráva LDDA). Rezistivita při RT je 127
mcm, ionizační energie pro přechod 1s(A1)→cb je 45 meV, 365 cm-1
.
Reálná část vodivosti spočtená z transmisního spektra Si:P (5.59E16 cm-3
) při různých
teplotách.
0 200 400
0.0
0.5
1.0
1.5
1s(A1
)->cb
->2p+/-
1s(A1
)->2p0
->2p+/-
1s(T2
)
1s(E)
->2p0
1s(T2
)
15K
25
45
75
TransN7-Sig1TD
200
65
300K
100
WAVENUMBER (cm
-1
)
Si:P 7.87 
-1
cm
-1
5.59x10
16
cm
-3
1
(
-1
cm
-1
)
1s(E)
15