1
J. Humlíček FKL II
10. Elektrický transport
Pohyblivé náboje, vznikající excitací donorových, akceptorových nebo valenčních stavů, nesou ve vnějším elektrickém poli elektrický proud.
Těmito „nosiči náboje“ jsou elektrony a/nebo díry. Ve slabých polích je proud úměrný intenzitě elektrického pole (Ohmův zákon).
Kvaziklasické přiblížení
Předpokládejme plyn neinteragujících elektronů vložený do externího pole s potenciálem  nezávislým na čase. Amplituda pravděpodobnosti
nalezení nosiče v místě r se řídí časově závislou Schroedingerovou rovnicí
 0 ( ) ( , ) ( , ) , 

  

H e r r t i r t
t
(10.1)
kde H0 je jednoelektronový Hamiltonián krystalu bez vnějšího pole. Pokud se vnější pole mění málo na vzdálenostech řádu mřížkové konstanty,
použijeme aproximaci efektivní hmotnosti podobně jako v případě popisu příměsových stavů. Pro určitost budeme popisovat elektrony ve
stavech kolem dna vodivostního pásu, s izotropní disperzní relací
2
2
*
( ) (0) .
2
 c c
k
E k E
m
(10.2)
Analogicky ke vztahu (7.16) pro obálky Wannierových funkcí dostaneme časově závislou rovnici
2
*
( ) ( , ) (0) ( , ) .
2
   
          
cR
e R C R t i E C R t
m t (10.3)
2
Poloha vlnového klubka je ovlivněna přítomností vnějšího pole, v kvaziklasické aproximaci v souladu s Newtonovou pohybovou rovnicí pro
kvazičástici s hmotností m*. Působící síla je gradientem potenciálu a udílí kvazičástici konstantní zrychlení. Bez „odporu“ proti zrychlování by
driftová rychlost a elektrický proud neomezeně rostly s časem. V souladu s pozorovaným chováním vložíme do pohybové rovnice „tlumicí člen“,
který vykompenzuje zrychlení kvazičástice vnějším polem. Poloha elektronu se pak řídí pohybovou rovnicí
2 *
*
2
,

  
d r m dr
m eE
dt dt
(10.4)
kde E je intenzita elektrického pole (gradient potenciálu) a  „relaxační doba“, tedy (střední) doba, za kterou elektron prodělá srážku vynulující
jeho driftovou rychost. Druhý člen na levé straně (10.4) se také označuje jako brzdicí. Po odeznění přechodových jevů má nosič náboje řídící se
pohybovou rovnicí konstantní driftovou rychlost vd, což je přídavek k tepelné rychlosti způsobený přítomností vnějšího pole. Podmínkou
dosažení stacionárního stavu je zřejmě nulové zrychlení, neboli hodnota driftové rychlosti
*
.

  d
dr e
v E
dt m
(10.5)
Úvahu o driftové rychlosti a zrychlení vlnového klubka můžeme provést také následujícím způsobem: jde o grupovou rychlost (rychlost přenosu
energie) velikosti
( ) 1 ( )
.g
d k dE k
v
dk dk

  (10.6)
Síla F vykoná za čas dt práci, o kterou se zvětší energie klubka:
( ) , .g g
dk
dE k Fv dt v dk F
dt
   (10.7)
Zrychlení způsobené silou F je tedy
3
2 2 2
2 2 2 *
1 1 1
,gdv d E d E dk d E F
F
dt dkdt dk dt dk m
    (10.8)
kde jsme použili kvadratickou disperzní relaci (10.2).
Proudová hustota, vodivost, pohyblivost
Náboj přenesený jednotkovou plochou za jednotku času je proudová hustota j; pro objemovou hustotu nosičů n dostáváme
2
*
.d
ne
j nev E
m

   (10.9)
S izotropní disperzní relací (10.2) je konstanta úměrnosti mezi proudovou hustotou a intenzitou pole skalární vodivost :
2
*
, .
ne
j E
m

   (10.10)
V anizotropním krystalu zřejmě nemusí být směr proudu a pole stejný a vodivost je tenzorem řádu 2,
ˆ .j E (10.11)
Vodivost závisí na čtverci náboje nosiče (proud je úměrný náboji a rychlosti jeho přesunu, která je také úměrná náboji díky působící elektrické
síle), proto se proudy nesené elektrony a děrami sčítají.
Protože koncentrace nosičů v polovodiči může významně záležet na teplotě, je vhodné udávat pohyblivost :
4
.dv E (10.12)
Z předchozího rozboru vychází pro pohyblivost relace
*
.

 
e
m
(10.13)
Pohyblivost a koncentrace elektronů (e) a děr (h) se mohou lišit, výsledná vodivost je zřejmě
( ) .   e e h he n n (10.14)
Charakteristické pohyblivosti elektronů a děr při pokojové teplotě jsou (v cm2
/Vs), v SiC záleží na kvalitě krystalu
elektrony díry
Si 1300 500
GaAs 8800 400
4H-SiC 950 100
Boltzmannova transportní rovnice
Pravděpodobnost obsazení pásového stavu s energií Ek v krystalu bez vnějšího pole je dána Fermi-Diracovou statistikou,
0 1
= ,
exp 1
 
 
 
k
Fk
f
E E
kT
(10.15)
5
kde EF je Fermiho energie (chemický potenciál). Přítomnost vnějšího pole a srážkových mechanismů tyto pravděpodobnosti mění; ve slabém
poli (s malou intenzitou E) ponecháme v Taylorově rozvoji změny za jednotku času jen lineární člen:
   
0 0 0
,
   
         
   
k k k k k k
k
E k k k
df df dE df dr df
eE ev E
dt dE dt dE dt dE
(10.16)
kde jsme jako vk označili rychlost klubka centrovaného v poloze r v přímém prostoru a kolem vlnového vektoru k v reciprokém prostoru.
V ustáleném stavu se pravděpodobnosti obsazení jednoelektronových stavů v čase nemění; v aproximaci relaxační doby k je tedy
,

 
  
 
k k
Ek
df df
dt
(10.17)
neboli
 
0
. k
k k k
k
df
df e v E
dE
(10.18)
Ze vztahu (10.15) vychází následující výsledek pro hustotu proudu („Ohmův zákon“):
   
0
0 3 2 3
.     k
k k k k k k
BZ BZ k
df
j ev f df d k e v v E d k
dE
(10.19)
V dalším postupu budeme předpokládat nedegenerovaný elektronový plyn s parabolickou disperzní relací (10.2); zanedbání jedničky ve
jmenovateli Fermi-Diracovy statistiky (10.15) vede k Boltzmannově statistice
6
 
2
0 2 2 2
*
(0)
=exp =exp exp .
2
     
      
    
F k F c
x y zk
E E E E
f k k k
kT kT m kT
(10.20)
Možné hodnoty k považujeme jako obvykle za (kvazi)kontinuum; „Gaussovský profil“ statistiky ze vztahu (10.20) má v každém ze tří směrů
reciprokého prostoru disperzi
*
2
( ) ( ) ( ) .  x y z
m kT
D k D k D k (10.21)
S izotropní disperzní relací jsou směry intenzity elektrického pole, driftové rychlosti a proudové hustoty stejné. Budeme tedy počítat skalární
vodivost ; integrály v k-prostoru v (10.19) vyjádříme s pomocí hustoty stavů jako integrály přes energie. Hustota stavů v jednotkovém objemu,
se započtením spinové degenerace, je podle (2.18)
 
3/2*
2 3
2( )
pro .
2
  c c
mD E
E E E E
V
(10.22)
Vztah (10.19) dává skalární vodivost ve tvaru
2
2
2 *
0
( ) ( ) ( ) .
3
 


 
e
E v E D E dE
m kT
(10.23)
S konkrétní závislostí relaxační doby na energii můžeme modelovou představu o vodivosti zlepšit.
7
Změřená teplotní závislost pohyblivosti slabě legovaného n-typu Si (levý panel), spočtené
příspěvky rozptylu na různých fononech (pravý panel: A - akustické fonony uvnitř
vodivostních minim, 190 a 630 K – intervalley rozptyl s fonony s různými energiemi).
8
Teplotní závislost pohyblivosti n-typu Si pro různé úrovně koncentrace donorů.
9
Teplotní závislost pohyblivosti n-typu GaAs a příspěvky různých typů rozptylu.
10
Driftová rychlost elektronů a děr v GaAs a Si v závislosti na intenzitě vnějšího pole.
11
Přechod kov-izolátor v silně legovaných polovodičích
(MIT, “Metal-Insulator Transition”)
definice pomocí stejnosměrné (dc) vodivosti:
( ) 0 pro 0 ... kov,
(0) 0 ... izolator.
T T

 
 (10.24)
Přehled Si:P z Loehneysen 1998
12
13
Přehled Si:P z Loehneysen 1998
14
Pohyblivost elektronů v 4H-SiC
Roschke et. al., 2001
15
Pohyblivost elektronů v grafénu
ovlivněná substrátem (z Ferry2013)