1
J. Humlíček FKL II
11. Hallův jev a magnetorezistence
Pohyb volných nosičů náboje ve vnějším elektrickém poli může být výrazně ovlivněn přítomností magnetického pole.
Hallův jev v trojrozměrném plynu volných nosičů
V aproximaci relaxační doby je kvaziklasická pohybová rovnice s intenzitou elektrického pole E a magnetickou indukcí B pro nosič s nábojem e
2 *
*
2
,
d r m dr dr
m eE e B
dt dt dt
+ = +  (11.1)
 je střední doba, za kterou nosič prodělá srážku vynulující jeho driftovou rychost. Poslední člen v (11.1) je Lorentzova síla. Předpokládejme
magnetické pole orientované podél osy z; pak můžeme hořejší pohybovou rovnici přepsat pro komponenty polohy nosiče x a y jako
* *
, .y yx x
x y z y x z
dv vdv vm m
E v B E v B
e dt e dt 
  
+ = + + = −  
   
(11.2)
Ve směru x přikládáme elektrické pole (je to „podélný směr“), ve směru y vzniká elektrické pole díky Lorentzově síle (v „příčném směru).
2
Tvar vzorku pro měření vodivosti a Hallova napětí.
Ve stacionárním stavu je zrychlení nosiče nulové; v (11.2) můžeme vx z první rovnice dosadit do druhé, dostaneme tak rovnici pro vy:
2 2 2*
* *
.z z
y y x
e B e Bm
v eE E
m m
 

 
+ = − 
 
(11.3)
Použijeme symbol pro cyklotronovou frekvenci
3
*
 = z
c
eB
m
(11.4)
a pohybovou rovnici (11.3) přepíšeme do tvaru
( ) ( )2 2
*
1 .y c y c x
e
v E E
m

   + = − (11.5)
Ve slabém magnetickém poli (typicky splněno při měření Hallova napětí) je kvadrát součinu cyklotronové frekvence a relaxační doby
zanedbatelný a (11.5) se zjednoduší:
* *
.z
y y x
eBe
v E E
m m
  
= − 
 
(11.6)
Proudovou hustotu j dostaneme vynásobením rychlosti nosičů jejich nábojem a koncentrací. Předpokládejme koncentraci elektronů (s efektivní
hmotností me) ne a koncentraci děr (s efektivní hmotností mh) nh. Celková proudová hustota podél y je součtem dvou příspěvků a v ustáleném
stavu je nulová:
2 2
0 .e e z e h h z h
y ye yh y x y x
e e h h
n e eB n e eB
j j j E E E E
m m m m
      
= + = + + − =   
   
(11.7)
Předchozí vztah můžeme zapsat stručně s pomocí symbolu  pro pohyblivost:
( ) ( )2 2
,
, .
y e e h h x h h e e z
e h
e h
e h
E n n E n n B
e e
m m
   
 
 
+ = −
= = (11.8)
4
Intenzitu elektrického pole podél x můžeme napsat pomocí odpovídající proudové hustoty jx a vodivosti ,
( )
.x x
x
e e h h
j j
E
e n n  
= =
+
(11.9)
Z (11.8) tak dostaneme úměrnost příčného elektrického pole Ey podélné proudové hustotě jx a magnetické indukci, vyjádřenou pomocí Hallova
koeficientu RH:
( )
2 2
2
.h h e e
y H x z x z
e e h h
n n
E R j B j B
e n n
 
 
−
= =
+
(11.10)
Jednotky (SI) v hořejší relaci:
3 3 3
2 2 2 2 2
V m A m A Wb m A V s
T .
m C m A s m m A s m m

= = =
 
V přítomnosti jediného druhu nosičů s koncentrací n je Hallův koeficient
1
.HR
en
=  (11.11)
Při konečné teplotě mají nosiče náboje různé energie a rozptylové mechanismy na jejich energii závisí. Proto je vhodné předchozí postup
modifikovat tak, že nejdeme střední (očekávané) hodnoty funkcí relaxační doby, které v hořejším postupu vystupují. Místo vztahu (11.8)
vezmeme zřejmě
5
( ) ( )2 2
2 2 2 22 2
2 2 2 2
2 2 2 2
,
( ) ( ) , ( ) ( ) ,
( ) ( ) , ( ) ( ) ,
y e e h h x h h e e z
e h
e e h h
e e h h
e h
e e h h
e e h h
E n n E n n B
e ee e
E f E dE E f E dE
m m m m
e ee e
E f E dE E f E dE
m m m m
   
 
   
 
   
 
− −
 
− −
+ = −
= = = =
= = = =
 
 
(11.12)
kde f(E) je hustota pravděpodobnosti obsazení stavu s energií E. Střední hodnoty první a druhé mocniny relaxačních dob pak vstoupí do vztahu
(11.10). V přítomnosti jediného druhu nosičů s koncentrací n je Hallův koeficient namísto (11.11) roven
2
2
.


=  =  H
H
r
R
enen
(11.13)
Jako rH jsme označili tzv. Hallův faktor,
2
2
.


=Hr (11.14)
Pokud je jeho hodnota blízká k jedné, je zřejmě pohyblivost součinem Hallova koeficientu a vodivosti:
 = HR (11.15)
a současné měření Hallova napětí a vodivosti dává koncentraci nosičů a jejich relaxační dobu. Většinou však nelze zanedbat závislost relaxační
doby na energii a součin ve vztahu (11.15) se od pohyblivosti liší, označuje se jako Hallova pohyblivost:
6
. =H Hr (11.16)
Magnetorezistence
V přítomnosti obou druhů nosičů se stejnou koncentrací je celkový příčný proud nulový, magnetické pole ale vychyluje nenulové příčné proudy
elektronů a děr v navzájem opačných směrech podél x. Tak vzniká magnetorezistence, t.j. závislost podélného odporu na magnetickém poli.
V hořejším modelu vyjádříme z první pohybové rovnice (11.2) rychlost nosiče ve směru x v ustáleném stavu (nulové zrychlení) jako
( ) ( )* *
2
2 2
,
.
1
 
 
 

   = + − = + −    
+
=
+
x x y x z z x y x z z
x y z
x
z
e e
v E E v B B E E v B B
m m
E E B
v
B
(11.17)
Proudová hustota v podélném směru je složená z příspěvku elektronů a děr,
.= + = +x xe xh e xe h xhj j j n ev n ev (11.18)
Pro malou příčnou intenzitu el. pole (malé Hallovo napětí) dostaneme z (11.12) a (11.13) lineární závislost podélného proudu na Ex:
2 2 2 2
( ) ,
1 1
 

 
 
 + = 
+ + 
e e h h
x x x z x
e z h z
n n
j e E B E
B B
(11.19)
s vodivostí závislou na magnetické indukci. V limitách slabého a silného magnetického pole dostáváme
7
( )3 3 2 2 2
2 2
2
( ) (0) , pro 1 ,
( ) , pro 1 .
x z x e e h h z h z
e h
x z h z
e h z
B e n n B B
n n e
B B
B
    
 
 
 − +
 
 + 
 
(11.20)
V druhém případě je specifický odpor úměrný kvadrátu magnetické indukce.
Kvantový Hallův jev v dvojrozměrném plynu volných nosičů
Lokalizace plynu volných elektronů do velmi tenké vrstvy v rovině (x,y), nejlépe v heterostruktuře, zmenší o jedničku počet stupňů volnosti.
V magnetickém poli orientovaném podél z jsou pak energie kvantovány do Landauových hladin,
* *
*
1 1 1 1
( , ) ,
2 2 2 2
  
   
= +  = +    
   
z
z c B z B z
eB
E l B l g B l g B
m
(11.21)
tedy do systému diskrétních hladin s odstupem kvanta energie daného cyklotronovou frekvencí. Každá Landauova\ hladina je rozštěpena do
spinového dubletu, s energií danou Bohrovým magnetonem B a efektivním g-faktorem. Tato změna elektronové struktury podstatně ovlivní
proudy v příčném i podélném směru.
Proudové hustoty ve směru x a y v dvojrozměrném případě jsou pro slabá elektrická pole
, ,   = + = − +x xx x xy y y xy x xx yJ E E J E E (11.22)
protože
,   = = −xx yy yx xy (11.23)
8
pro izotropní materiál. S šířkou dvojrozměrného „kanálu“ w je podélná proudová hustota a příčná intenzita elektrického pole
, ,= =
yx
x y
VI
J E
w w
(11.24)
kde Ix a Vy jsou po řadě podélný proud a příčné napětí. Dvojrozměrná proudová hustota je proud tekoucí jednotkovou šířkou.
V ustáleném stavu neteče proud podél y, tedy pro rezistivity  dostáváme z (11.22)
2 2 2 2
, .

 
   
 =  =
+ +
y xyx xx
xx xy
x xx xy x xx xy
EE
J J (11.25)
Dvojrozměrné vodivosti  mají jednotky 1/, rezistivity  mají jednotky . Někdy se udávají jako 1/  a  na čtverec, protože stejné hodnoty
naměříme pro čtvercové vzorky libovolného rozměru. Je-li délka kanálu l a šířka w, je odpor ve směru x dán součinem rezistivity xx a
bezrozměrného faktoru l/w.
V aproximaci relaxační doby dostaneme z (11.5) podmínku pro vynulování příčné rychlosti elektronů:
*
0 .yz
y y x c
x
EeB
v E E
m E

  − = → = (11.26)
Podélná proudová hustota je součinem náboje elektronu, plošné koncentrace ns a rychlosti vx; z první rovnice (11.2) dostaneme pro rychlost ve
stacionárním stavu (bez zrychlení)
* *
.
 
 
= = =y y
x x
c z
E Ee e
v E
m m B
(11.27)
9
Odtud
,= − = − y
x s x s
z
E
J en v en
B
(11.28)
1
,= − =y x z H x z
s
E J B R J B
en
(11.29)
1
.= −H
s
R
en
(11.30)
Hallův koeficient je dán plošnou hustotou elektronů. Vzhledem k (11.24) je
.=
y
H
x z
V
R
I B
(11.31)
V silném magnetickém poli je součin cyklotronové frekvence a relaxační doby mnohem větší než jednička, tedy podle (11.26) příčná intenzita
elektrického pole mnohem větší než podélná. Vzhledem k (11.25) je pak modul vnědiagonálního prvku tenzoru vodivosti mnohem větší než
prvku diagonálního. Pro rezistivity z (11.25) to znamená přibližné rovnosti
2
1
, .

 
 
  = =yxx
xx xy H z
xy xy x
V
R B
I (11.32)
Obě vodivosti a rezistivity se při sledování transportu elektronů v magnetickém poli výrazně mění díky obsazování diskrétních Landauových
hladin.
10
Plošná koncentrace elektronů je ve stavu s úplně obsazenými hladinami až po -tou včetně a všemi dalšími neobsazenými rovna
( ) = z
s
eB
n
h
(11.33)
a Hallova rezistivita je kvantovaná,
2
1 25813
, 1,2,... 
 
= = =  =y
xy
x
V h
I e
(11.34)
Z tohoto faktu vychází obvyklé označení „QHE“ (Quantum Hall Effect“). Zároveň se pozoruhodným způsobem chová i podélná rezistivita;
vysvětlení vychází z rozboru „vodivého“ stavu elektronového plynu s částečně zaplněnými Landauovými hladinami a „izolujícího“ stavu
v případě Fermiho energie mezi plnou a prázdnou hladinou.
Relativní přesnost měření Hallovy rezistance v QHE je 10-8
, je to současný standard elektrického odporu. Zároveň přináší možnost velmi
přesného určení konstanty jemné struktury,
2
0
1
,
4 137.035963(15)


= =
e
c
(11.35)
ve které vystupují vedle poměru h/e2
pouze definované konstanty. Od roku 2019 je Planckova konstanta definována:
h = 6.62607015x10-34
J.s .
11
12
Uspořádání von Klitzinga, Peppera a Dordy v originální experimentu, ve kterém byl v roce
1980 objeven kvantový Hallův jev (Nobelova cena – von Klitzing 1985).
13
Originální záznam s poznámkami, identifikujícími vznik kvantového Hallova jevu.
14
Dvojrozměrný elektronový plyn v křemíkové struktuře MOS (a) a v heterostruktuře
GaAs/AlGaAs (b).
15
Heterostruktura pro měření QHE (Klitzing, RMP 1986).
16
Hustota stavů, podélná vodivost a Hallův koeficient (Klitzing, RMP 1986).
17
Hallova a podélná rezistivita v heterostruktuře GaAs-AlGaAs při teplotě 8 mK (Klitzing,
RMP 1986).
18
Detail Hallovy rezistivity teplotě 1.8 K a magnetické indukci 13.9 T pro dva různé vzorky
(Klitzing, RMP 1986).
19