1
J. Humlíček FKL II
12. Transport na optických frekvencích I
Vnější elektromagnetická vlna vyvolává pohyb nabitých částic (elektronů a atomových jader). Budeme předpokládat harmonickou časovou
závislost intenzity elektrického pole v pevném místě prostoru,
(12.1)
vektor E0 je amplituda. Zpravidla zacházíme s jednoduchým rozložením elektrického pole v prostoročase, například s rovinnou vlnou s vlnovým
vektorem k0:
(12.2)
Základní charakteristiky vlny:
elektrická intenzita E (V/m),
frekvence f = /2 (Hz),
vlnová délka  = c/f (mm, m, nm),
vlnočet W = 1/ (cm-1
).
Kvantové chování (Planck + Einstein):
energie fotonu ħ (eV),
hybnost ħ/c (eVs/m).
Převod vlnová délka – energie fotonu – vlnočet:
2
0 0( ) ,i ft i t
E t E e E e  
 
-11.239852
(eV) , (cm ) 8065.48 (eV).
(μm)
W 

 
0 0( )( 2 / )
0 0( , ) .i t k ri t k r
E r t E e E e      
 
2
(12.3)
Interakce nabitých částic s elektromagnetickou vlnou je dána intenzitou elektrického pole. Detektory ovšem reagují na intenzitu I, t.j. časovou
střední hodnotu Poyntingova vektoru
(12.4)
Numerický příklad:
vlna s amplitudou intenzity el. pole 1 V/m má intenzitu 1.33 mW/m2
; vlna s intenzitou 1 mW/m2
má amplitudu elektrické intenzity 8.68E5
V/m. Vhodné je srovnání s intenzitou elektrického pole jednoho elementárního náboje ve vzdálenosti 0.1 nm, která je 1.44E11 V/m.
Ke kvantovému chování elmag vlny:
klasická představa v mnoha situacích selhává, energie je přenášena ve svazku kvant (fotonů). Intenzita a výkon monochromatického svazku jsou
(12.5)
Příklad:
červená linie HeNe laseru s vlnovou délkou =632.8 nm sestává z kvant s energií 1.959 eV. Výkon 1 mW znamená tok 3.191018
fotonů za
sekundu. Současné detektory pracují s úrovní temného šumu zhruba 10 elementárních nábojů (které mohou být generovány o něco větším
počtem fotonů). Je tedy relativně snadné pozorovat lineární odezvu (počet absorbovaných fotonů úměrný počtu dopadajících fotonů).
20
0| ( ) ( ) | | | .
2
c
I E t H t E

  
(počet fotonů na jednotku plochy a času),
(počet fotonů na jednotku času).
I
P


 
 
3
Elektrická polarizace hmoty
Elektrické pole světelné vlny způsobuje pohyb jader a elektronů. Tyto pohyby jsou typicky asynchronní, s „fázovým posuvem“ mezi vynucující
silou (úměrnou intenzitě elektrického pole E) a indukovaným dipólovým momentem (alternativně indukovaným proudem). Obvyklá je
významná závislost na frekvenci pole . Je vhodné používat komplexní veličiny, ve kterých je zároveň amplituda a fáze.
Ve slabých polích je odezva lineární:
(12.6)
Zde je D elektrické posunutí, P polarizace,  susceptibilita,  permitivita, j indukovaná proudová hustota,  vodivost.
Základními odezvovými funkcemi jsou (komplexní) permitivita a vodivost. Jejich hodnoty pro danou frekvenci se také označují jako optické
konstanty. Ve fyzikálních modelech jsou preferovanými optickými konstantami reálná část vodivosti nebo imaginární část permitivity, protože
jsou měřítkem absorbované energie (počítáme ji jako energii kvanta násobenou pravděpodobností absorpce). Občas je vhodné používat záporně
vzatou převrácenou hodnotu permitivity – zejména při sledování kolektivních plasmonových excitací. Při sledování šíření vlny je vhodnou
veličinou (komplexní) index lomu, což je odmocnina z permitivity. Jeho imaginární část je mírou tlumení vlny.
0 0 0
ˆ ˆ(1 ) ,D E P E E       
.j i P E   
4
Souvislosti mezi optickými konstantami
5
Kauzálnost odezvy vede k požadavku na splnění integrálních Kramers-Kronigových relací
(12.7a)
(12.7b)
(12.7c)
6
Modely optické odezvy
Klasický tlumený harmonický oscilátor s výchylkou u, tlumení úměrné rychlosti – Lorentzův spektrální profil
(12.8)
Výchylka je
(12.9)
její amplituda
(12.10)
a polarizovatelnost
(12.11)
S objemovou hustotou oscilátorů N je susceptibilita
2
2
0 02
.


    i td u m du
m m u eE e
dt dt
02 2
0
1
,
/

   
 
 
i te
u E e
m i
0
0 2 2
0
1
/
eE
u
m i   
 
 
2
2 2
0
1
.
/
e
m i

   

 
2
2 2
0
1
/
Ne
m i

   

 
7
(12.12)
a permitivita
(12.13)
Pro slabé tlumení (1/ << 0) dostáváme rezonanci kolem vlastní frekvence oscilátoru.
Drudeho model – odezva volných nábojů
Zvláštní případ Lorentzova modelu, ve kterém vynecháme vratnou sílu oscilátoru (vezmeme 0 nulové). „Rezonance“ volných nosičů náboje
vyjde pro nulovou frekvenci elmag pole:
(12.14)
pro kterou imaginární část permitivity diverguje. Reálná část je konečná,
(12.15)
2
2 2
0
4 1
1 .
/
Ne
m i


   
 
 
2
4 1
1 ,
( / )
Ne
m i


  
 

 
2 2
4
Re (0) 1 ,
Ne
m
 
  
8
pro dostatečně velké N a/nebo  nabývá záporných hodnot. Chování při nízkých frekvencích je podle očekávání vhodněji popisováno komplexní
vodivostí. Její imaginární část je pro nulovou frekvenci nulová a reálná část je konečná (viz 10.10, pozor na volbu soustavy jednotek),
2
1(0) .
e
m

  (12.16)
Kvantový popis – přechody způsobené časově závislou poruchou
Poruch závislá harmonicky na čase vede pro kvazistatické výchozí a konečné stavy s rozdílem energií
0f iE E   (12.17)
k Lorentzovu profilu permitivity centrovanému na frekvenci 0, pokud předpokládáme konstantní dobu života excitovaného stavu (exponenciální
rozdělení pravděpodobnosti nalezení systému v excitovaném stavu).
Pravděpodobnosti přechodu z Fermiho zlatého pravidla předpovídají absorptivní část odezvových funkcí, zbylé části dostáváme z KK relací.
Typicky sčítáme pravděpodobnosti (nezávislých) procesů přes všechny páry výchozích a konečných stavů, čímž dostaneme výsledné odezvové
funkce.
9
Odezvové funkce krystalů
Translační symetrie vede k indexování jednočásticových stavů vlnovým vektorem k, pásy dovolených energií omezujeme na 1. BZ, používáme
grupové symboly pro označení bodů a směrů vysoké symetrie v reciprokém prostoru.
V pásové struktuře fononů v GaAs odlišíme akustické a optické módy, posoudíme degeneraci vynucenou symetrií.
Obr. 1. Pásová struktura vibračních stavů v GaAs.
Oddělení frekvencí LO a TO módů v  je dáno (částečnou) ionicitou vazby:
10
Obr. 2. Elektronová hustota valenčních stavů v GaAs.
Elektronová pásová struktura – přechody mezi obsazenými valenčními a prázdnými vodivostními stavy.
11
Obr. 3. Pásová struktura GaAs.
12
Charakteristická spektra optických konstant – dopovaný GaAs
Obr. 4a. Spektra permitivity GaAs v IR.
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
-200
-100
0
100
200
2.7x10
18
cm
-3
Im
Re
n-GaAs
DIELECTRICFUNCTION
PHOTON ENERGY (eV)
13
Obr. 4b. Spektra permitivity GaAs v NIR-VIS-UV.
5 10 15 20
-10
0
10
20
Im
Re
GaAs
DIELECTRICFUNCTION
PHOTON ENERGY (eV)
14
Obr. 5a. Spektra vodivosti GaAs v IR.
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
-200
0
200
400
600
800
2.7x10
18
cm
-3
Im
Re
n-GaAs
CONDUCTIVITY(
-1
cm
-1
)
PHOTON ENERGY (eV)
15
Obr. 5b. Spektra vodivosti GaAs v NIR-VIS-UV.
5 10 15 20
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
Im
Re GaAs
CONDUCTIVITY(
-1
cm
-1
)
PHOTON ENERGY (eV)
16
Obr. 6a. Spektra indexu lomu GaAs v IR.
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0
5
10
15
2.7x10
18
cm
-3Im
Re
n-GaAs
REFRACTIVEINDEX
PHOTON ENERGY (eV)
17
Obr. 6b. Spektra indexu lomu GaAs v NIR-VIS-UV.
5 10 15 20
0
1
2
3
4
5
Im
Re
GaAs
REFRACTIVEINDEX
PHOTON ENERGY (eV)
18
Obr. 7a. Spektra -1/ GaAs v IR.
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
-0.5
0.0
0.5
2.7x10
18
cm
-3
Im
Re
n-GaAs
-1/
PHOTON ENERGY (eV)
19
Obr. 7b. Spektra -1/ GaAs v NIR-VIS-UV.
5 10 15 20
-0.5
0.0
0.5
Im
Re
GaAs
-1/
PHOTON ENERGY (eV)
20
Obr. 8a. Spektra hloubky průniku GaAs v IR.
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
1
10
2.7x10
18
cm
-3
n-GaAs
PENETRATIONDEPTH(m)
PHOTON ENERGY (eV)
21
Obr. 8b. Spektra hloubky průniku GaAs v NIR-VIS-UV.
5 10 15 20
0.01
0.1
1
10
GaAs
PENETRATIONDEPTH(m)
PHOTON ENERGY (eV)
22
Obr. 9a. Spektra kolmé reflektivity GaAs v IR.
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
2.7x10
18
cm
-3
n-GaAs
REFLECTIVITY
PHOTON ENERGY (eV)
23
Obr. 9b. Spektra kolmé reflektivity GaAs v NIR-VIS-UV.
5 10 15 20
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
GaAs
REFLECTIVITY
PHOTON ENERGY (eV)
24
Příklad WBG: polytypy SiC
Fundamentální optická odezva - mezipásové přechody elektronů
25
jednoosá anizotropie, průhledná oblast, index lomu metodou minimální deviace, Shaffer 1971
Obr. 10a. Index lomu (hranoly, minimální deviace).
"přísnější" pohled na disperzi v průhledné oblasti
26
Obr. 10b. Permitivita (n2
) vs. E2
; data z Shaffer 1971.