1. cvičení z lineární algebry II - afinní geometrie, 2023
Příklad. 1. Rozhodněte, které z podmnožin jsou afinní podprostory. Pokud jsou, najděte jejich zaměření a dimenzi.
(1) M = {(x,y) e R2; y2 = x3 + 1} C R2.
(2) Aľ={peR5[x\; p(2)+p(3) = 5,p'(20) =21} cR5[x\.
(3) V = {Ce Mat3x3(K); h(C) < 2} C Mat3X3.
K důkazu, že nejde o afinní podprostor lze využít charakterizaci afinního podprostoru jako podmnožiny obsahující s každými dvěma různými body i přímku, která jimi prochází.
Příklad. 2. Napište nejdříve parametrický a potom implicitní popis nejmenšího afinního podprostoru v IR4, který obsahuje body
A = [5,2,1,0],   B= [4,1,0,0],   C = [-3,1,0,1].
Příklad. 3. Pomocí afinních kombinací dokažte, že se těžnice v trojúhelníku ABC protínají v jediném bodě.
Příklad. 4. Najděte průnik a spojení afinním podprostoru M. a J\í v IR5: M : [2,3,4,3,6] + a(l,l, 1,-1,1) + 6(0,0,1,0,1) ÄÍ: [2,2,4,4,6] + c(l, 0,0, 0,1) + d(0, 0,1, 0,0) + e(2,1,1,-1,1).
Příklad. 5. V IR4 určete vzájemnou polohu rovin
7T : 3xi + x2 + 2x3 = 5,    5xľ — x2 + 2rr4 = 3, p : x\ + 5^2 — 4^3 = —3,    2x2 — x% + x^ = —2.
Příklad. 6. V IR4 určete vzájemnou polohu roviny
p: [3,-1,0,0] + S(-l,l,l,0)+í(2,l,0,1) a přímek p, q ar, které mají parametrická vyjádření
a) p: [7,4,2,3]+a(5,-2,-3,1),
b) g : [1,2, 3,4]+6(1, 5, 3, 2),
c) r : [1,2,3,4]+c(l, 1,1,1).
Příklad. 7. V IR3 najděte přímku p, která protíná mimoběžky r: [1,2,—l] + s(l,—1,1) a g : [0, 9, —2] + í(l, 0, 0) (taková přímka se nazývá příčka mimoběžek) a je rovnoběžná s vektorem v = (1, 2,0).
Návod. Přímka p leží v rovině určené přímkou r a vektorem i>. □
Příklad. 8. V IR4 najděte přímku p, která protíná přímku g :   [1, 2, 0, 0] + s(l, 1,1,0) a
rovinu p : rri + rr2 — ^3 — X4 = 2,    rri + x3 = 7 a prochází bodem B = [1, 3, 2,1].
1
2
Příklad. 9. V IR4 jsou zadány dvě roviny
7T : X\ + x2 + 3?3 + X4 = 1,    rr2 — ^4 = 2 p : x\ — x% = 3,       + 2:4 = 5.
Najděte přímku p rovnoběžnou s rovinou p, protínající rovinu n a procházející bodem A =
[0,0,1,2].
Návod. Přímka p leží v rovině rovnoběžné s rovinou p a procházející bodem A. □ Řešení. Průsečík roviny n s přímkou p je [—1,2, 0, 0]. □
Příklad. 10. V IR4 jsou zadány rovina a dvě přímky
9 : xľ + x2 — x3 — X4 = 1,    2xi + x2 + 2x3 + 3x4 = 9, g : [3,2,3,8]+í(l,2,-1,-2), r : [1,1, 9, 5]+ S(2,l,-2,-l).
Najděte přímku p rovnoběžnou s rovinou 9 a protínající obě přímky q ar.
Návod. Testujeme, zdaje vektor Q — R, kde Q E q a R E r, rovnoběžný s rovinou 9. □