\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  2. cvičení z LA II - afinní geometrie a bilineární formy, 2023}
\end{center}

\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } V $\R^4$ určete vzájemnou polohu rovin
\begin{align*}
\pi:&\ 3x_1+x_2+2x_3=5,\quad 5x_1-x_2+2x_4=3,\\ 
\rho:&\  x_1+5x_2-4x_3=-3,\quad 2x_2-x_3+x_4=-2. 
\end{align*}
 \end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }
V $\R^4$ určete vzájemnou polohu roviny
$$ \rho:\  [3,-1,0,0]+s(-1,1,1,0)+t(2,1,0,1)$$
a přímek $p$, $q$ a $r$, které mají parametrická vyjádření
\begin{enumerate}
\item[a)] $p: [7,4,2,3]+a(5,-2,-3,1),$
\item[b)] $q: [1,2,3,4]+b(1,5,3,2),$
\item[c)] $r: [1,2,3,4]+c(1,1,1,1).$
\end{enumerate} 
 \end{zad}


\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
V $\R^3$ najděte přímku $p$, která protíná mimoběžky $r:\ [1,2,-1]+s(1,-1,1)$ a $q:\ [0,9,-2]+t(1,0,0)$ (taková přímka se nazývá příčka mimoběžek) a je rovnoběžná s~vektorem $v=(1,2,0)$.
\end{zad}
\begin{navod} Přímka $p$ leží v rovině určené přímkou $r$ a vektorem $v$.\end{navod}


\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
V $\R^4$ najděte přímku $p$, která protíná přímku $q:\ [1,2,0,0]+s(1,1,1,0)$ a rovinu
$\rho:\ x_1+x_2-x_3-x_4=2,\quad x_1+x_3=7$ 
a prochází bodem $B=[1,3,2,1]$.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
V $\R^4$ jsou zadány dvě roviny
\begin{align*}
\pi:&\  x_1+x_2+x_3+x_4=1,\quad x_2-x_4=2\\
\rho:&\ x_1-x_3=3,\quad x_2+x_4=5.
  \end{align*}
  Najděte přímku $p$ rovnoběžnou s rovinou $\rho$, protínající rovinu $\pi$ a procházející bodem $A=[0,0,1,2]$.
\end{zad}
\begin{navod} Přímka $p$ leží v rovině rovnoběžné s rovinou $\rho$ a procházející bodem $A$.\end{navod}
\begin{res} Průsečík roviny $\pi$ s přímkou $p$ je $[-1,2,0,0]$.
\end{res}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
V $\R^4$ jsou zadány rovina a dvě přímky
\begin{align*}
\theta:&\  x_1+x_2-x_3-x_4=1,\quad 2x_1+x_2+2x_3+3x_4=9,\\
q:&\ [3,2,3,8]+t(1,2,-1,-2),\\
r:&\ [1,1,9,5]+s(2,1,-2,-1).
  \end{align*}
 Najděte přímku $p$ rovnoběžnou s rovinou $\theta$ a protínající obě přímky $q$ a $r$.
\end{zad}
\begin{navod} Testujeme, zda je vektor $Q-R$, kde $Q\in q$ a $R\in r$, rovnoběžný s rovinou $\theta$.\end{navod}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ }
Zjistěte, zda následující funkce jsou bilineární  formy. Pokud ano, zjistěte zda jsou symetrické nebo antisymetrické, a napište matici této formy ve standardní bázi prostoru $\R^2$ nebo $\R_2[x]$.
\begin{enumerate}
\item[a)] $f:\R^2\times \R^2\to\R,\ f(x,y)=x_1y_1+x_1y_2-5x_2$,
\item[b)]  $g:\R^2\times\R^2\to\R,\ g(x,y)=x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1-5x_2y_2$,
\item[c)] $h:\R_2[x]\times \R_2[x]\to\R,\ h(p,q)=p(1)q(2)+4p(3)^2q(4)$,
\item[d)]  $k:\R_2[x]\times \R_2[x]\to\R,\ k(p,q)=p(1)q(2)+4p(3)q'(8)$.
\end{enumerate} 
Zde $q'(8)$ značí derivaci polynomu $q$ v čísle $8$.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.\ } K symetrické matici 
$A=\begin{pmatrix} 0&1&2\\1&3&-1\\2&-1&4
\end{pmatrix}$ najděte diagonální matici $D$ kon\-gruentní s $A$. Současně najděte regulární matici $P$ takovou, že $D=P^TAP$. 
\end{zad}
\medskip
\medskip
\brem Matice $P$ není určena jednoznačně.
\erem

%příklad 9
\begin{zad}{\bf 9.\ } 
Symetrická bilineární forma $f:\R^3\times\R^3\to\R$ má v souřadnicích standardní báze vyjádření $f(u,v)=x_1y_1+2x_1y_2+3x_1y_3+2x_2y_1+3x_3y_1$. ($x$ a $y$ jsou souřadnice vektorů $u$ a $v$ ve standardní bázi.) Najděte v $\R^3$ nějakou její polární bázi, tj. bázi $\beta$ v jejíž souřadnicích má $f$ vyjádření
$f(u,v)=b_{11}\bar  x_1\bar y_1+b_{22}\bar  x_2\bar y_2+b_{33}\bar  x_3\bar y_3$.
Toto vyjádření rovněž najděte. ($\bar x$ a $\bar y$ jsou souřadnice vektorů $u$ a $v$ v bázi
$\beta$.)
\end{zad}
\medskip
\brem Polární báze není určena jednoznačně. Jednoznačně je určen pouze počet kladných a záporných koeficientů v zápisu bilineární formy v souřadnicích polární báze.
\erem

\end{document}

