2. cvičení z LA II - afinní geometrie a bilineární formy, 2023
Příklad. 1. V IR4 určete vzájemnou polohu rovin
7T : 3xi + x2 + 2x3 = 5,    5xľ — x2 + 2rr4 = 3, p '. X\ + 5rc2 — 4rr3 = —3,   2x2 — %3 + %4 = —2.
Příklad. 2. V IR4 určete vzájemnou polohu roviny
p: [3,-1, 0,0] + s(-l,l,l,0)+t(2,l, 0,1) a přímek p, q ar, které mají parametrická vyjádření
a) p: [7,4,2,3]+a(5,-2,-3,1),
b) q: [1,2, 3,4] +6(1, 5, 3, 2),
c) r : [1,2,3,4]+c(l, 1,1,1).
Příklad. 3. V IR3 najděte přímku p, která protíná mimoběžky r : [1, 2,-1] + s(l, —1,1) a q : [0, 9, —2] + ŕ(l, 0, 0) (taková přímka se nazývá příčka mimoběžek) a je rovnoběžná s vektorem v = (1, 2,0).
Návod. Přímka p leží v rovině určené přímkou r a vektorem i>. □
Příklad. 4. V IR4 najděte přímku p, která protíná přímku g : [1, 2, 0, 0] + s(l, 1,1,0) a rovinu p : rri + rr2 — ^3 — ^4 = 2,    rri + rr3 = 7 a prochází bodem 5 = [1, 3, 2,1].
Příklad. 5. V IR4 jsou zadány dvě roviny
7T : X\ + x2 + 3?3 + X4 = 1,    rr2 — ^4 = 2 p : X\ — x3 = 3,    rr2 + ^4 = 5.
Najděte přímku p rovnoběžnou s rovinou p, protínající rovinu n a procházející bodem A =
[0,0,1,2].
Návod. Přímka p leží v rovině rovnoběžné s rovinou p a procházející bodem A. □ Řešení. Průsečík roviny n s přímkou p je [—1,2, 0, 0]. □
Příklad. 6. V IR4 jsou zadány rovina a dvě přímky
0 : X\ + rr2 — ^3 — ^4 = 1,    2x\ + x2 + 2x3 + 3x4 = 9, q : [3,2,3,8] +í(l, 2,-1, -2), r : [1,1, 9, 5]+ S(2,l,-2,-l).
Najděte přímku p rovnoběžnou s rovinou 9 a protínající obě přímky q ar.
Návod. Testujeme, zdaje vektor Q — R, kde Q E q a R E r, rovnoběžný s rovinou 9. □
Příklad. 7. Zjistěte, zda následující funkce jsou bilineární formy. Pokud ano, zjistěte zda jsou symetrické nebo antisymetrické, a napište matici této formy ve standardní bázi prostoru IR2 nebo R2[x\.
1
2
a) / : R2 x R2 -+ R, f (x, y) = xlVl + xxy2 - 5x2,
b) g : R2 x R2     R, g(x, y) = xxyx + 2xxy2 + 2x2yx - 5x2y2,
c) h : R2[x] x R2[x]     R, h(p, g) = p(l)g(2) + 4p(3)2g(4),
d) k : R2[x] x M2[x]     M, fc(p, g) = p(l)g(2) + 4p(3)g'(8). Zde g'(8) značí derivaci polynomu g v čísle 8.
/O    1     2 \
Příklad. 8. K symetrické matici A = j 1    3    — 1 I najděte diagonální matici D kon-
V2  -1 4/
gruentní s A. Současně najděte regulární matici P takovou, že D = PTAP. Poznámka. Matice P není určena jednoznačně.
Příklad. 9. Symetrická bilineární forma / : IR3 x IR3 —> R má v souřadnicích standardní báze vyjádření f(u,v) = xľyľ + 2xľy2 + 3xľy3 + 2x2yľ + 3x3yľ. (x a y jsou souřadnice vektorů uauve standardní bázi.) Najděte v IR3 nějakou její polární bázi, tj. bázi (3 v jejíž souřadnicích má / vyjádření f(u, v) = bužiýi + b22x2y2 + 633X3^3. Toto vyjádření rovněž najděte, (x a y jsou souřadnice vektorů iiauv bázi (5.)
Poznámka. Polární báze není určena jednoznačně. Jednoznačně je určen pouze počet kladných a záporných koeficientů v zápisu bilineární formy v souřadnicích polární báze.