3. cvičení z LA II - bilineární a kvadratické formy, 2023
Příklad. 1. Zjistěte, zda následující funkce jsou bilineární formy. Pokud ano, zjistěte zda jsou symetrické nebo antisymetrické, a napište matici této formy ve standarní bázi prostoru IR2 nebo R2[x].
a) /:ťxl24l, f(x, y) = xlVl + Xly2 - 5x2,
b) g : IR2 x R2     R, g(x, y) = xxyx + 2xxy2 + 2x2yx - 5x2y2,
c) h : R2[x] x R2[x]     R, h(p, g) = p(l)g(2) + 4p(3)2g(4),
d) k : R2[x] x R2[x] -> R, k(p, q) = p(l)g(2) + 4p(3)g'(8). Zde g'(8) značí derivaci polynomu g v čísle 8.
/O    1     2 \
Příklad. 2. K symetrické matici A = j 1    3    — 1 I najděte diagonální matici D kon-
V2  -1 4/
gruentní s A. Současně najděte regulární matici P takovou, že D = PTAP. Poznámka. Matice P není určena jednoznačně.
Příklad. 3. Symetrická bilineární forma / : IR3 x IR3 —> R má v souřadnicích standardní báze vyjádření f(u,v) = xľyľ + 2xľy2 + 3xľy3 + 2x2yľ + 3x3yľ. (x a y jsou souřadnice vektorů uauve standardní bázi.) Najděte v IR3 nějakou její polární bázi, tj. bázi (3 v jejíž souřadnicích má / vyjádření f(u, v) = bužiýi + b22x2y2 + 633X3^3. Toto vyjádření rovněž najděte, (x a y jsou souřadnice vektorů iiauv bázi (5.)
Poznámka. Polární báze není určena jednoznačně. Jednoznačně je určen pouze počet kladných a záporných koeficientů v zápisu bilineární formy v souřadnicích polární báze.
Příklad. 4. Kvadratická forma / : IR3 —> R má ve standardní bázi vyjádření
f(u) = 2x\ + 2xiX2 — x\ — 2x2x3 — x2.
Najděte její vyjádření v bázi a = ((1,1,1), (1,1, 0), (1, 0, 0)). Dále najděte nějakou její polární bázi, tj. bázi (3, v jejíž souřadnicích je f{u) = bux\ + b22x\ + b^x\, kde čísla ba = 0, 1 nebo —1. Určete signaturu /.
Příklad. 5. Uvažujme kvadratickou formu g : IR2 —> R, g(x) = 2x\ + ^x\x2 — ?>x\. Pomocí definice napište matici její symetrické bilineární formy v bázi a = ((1, 2), (3, —1)).
Příklad. 6. Ve standardních souřadnicích napište nějakou kvadratickou formu h : R3 —> R, která je pozitivně definitní na podprostoru V a negativně definitní na podprostoru W, kde
V= [(1,0, 2), (0,1,1)],    W = [(1,1,0)].
Příklad. 7. Definují následující symetrické bilineární formy skalární součin na IR3? Pokud ano, napište pro ně Cauchyovu nerovnost.
a) f(x, y) = xxyx + 3x2y2 + 5x3y3 + 3xľy3 + 3x3yľ - x2y3 - x3y2,
1
2
b) f (x, y) = xiyi + 3x2y2 + 5x3y3 + 2xľy3 + 2x3yľ - x2y3 - x3y2,
c) f (x, y) = xxy2 + x2yx + 2xxy3 + 2rr3í/i + Ax2y3 + 4x3í/2,
d) /(x, y) = xxyx - 2xxy2 - 2x2yx + 5x2y2 - x2y3 - x3y2 + 2x3y3.
Příklad. 8. Pomocí skalárního součinu dokažte:
(1) V rovnoběžníku je součet druhých mocnin úhlopříček roven součtu druhých mocnin všech stran.
(2) Rovnoběžník je kosočtverec, právě když jsou jeho úhlopříčky na sebe kolmé.
Úloha na další procvičení Příklad. Kvadratická forma / : IR4 —> IR má ve standardní bázi vyjádření
f(u) = 2x\x2 + %X\X3 — 2x2x3 — %x2Xt± + 8x3X4.
Najděte nějakou bázi (3, v jejíž souřadnicích je f(u) = bux\ + b22x\ + b33x\ + 644x|, kde čísla ba = 0, 1 nebo — 1.