4. cvičení z LA II - bilineární a kvadratické formy, 2023 Příklad. 1. Uvažujme kvadratickou formu g : IR2 —> IR, g (x) = 2x\ + Axix2 — 3x\. Pomoci definice napište matici její symetrické bilineární formy v bázi a = ((1, 2), (3, —1)). Příklad. 2. Kvadratická forma / : IR3 —> IR má ve standardní bázi vyjádření f (u) = 2x\ + 2xiX2 — x\ — 2x2x3 — rr2. Najděte její vyjádření v bázi a = ((1,1,1), (1,1, 0), (1, 0, 0)). Dále najděte nějakou její polární bázi, tj. bázi (3, v jejíž souřadnicích je f{u) = bux\ + 622^2 + ^33^3* kde čísla ba = 0, 1 nebo —1. Určete signaturu /. Příklad. 3. Ve standardních souřadnicích napište nějakou kvadratickou formu h : IR3 —> IR, která je pozitivně definitní na podprostoru V a negativně definitní na podprostoru W, kde V= [(1,0, 2), (0,1,1)], W = [(1,1,0)]. Příklad. 4. Definují následující symetrické bilineární formy skalární součin na IR3? Pokud ano, napište pro ně Cauchyovu nerovnost. a) f(x, y) = xxyx + Zx2y2 + 5x3y3 + 3x^3 + 3x3y1 - x2y3 - x3y2, b) f(x, y) = xxyx + 3x2y2 + 5x3y3 + 2xty3 + 2x3yt - x2y3 - x3y2, c) f(x, y) = xxy2 + x2yi + 2xty3 + 2x3yt + Ax2y3 + Ax3y2, d) f(x, y) = xxyx - 2xxy2 - 2x2yx + 5x2y2 - x2y3 - x3y2 + 2x3y3. Příklad. 5. Pomocí skalárního součinu dokažte: (1) V rovnoběžníku je součet druhých mocnin úhlopříček roven součtu druhých mocnin všech stran. (2) Rovnoběžník je kosočtverec, právě když jsou jeho úhlopříčky na sebe kolmé. Příklad. 6. Najděte ortonormální bázi podrostoru S= [(1,2,-1,3,1), (5,2,-1,7,1), (2,-1,2,-4,-2)] CM5, jestliže prostor IR5 bereme se standardním skalárním součinem. Použijte k tomu prvně Gram-mův-Schmidtův ortogonalizační proces a potom získané vektory ortogonální báze vynor-mujte (tj. vydělte normou, abyste získali vektory jednotkové velikosti). Příklad. 7. V IR5 se standardním skalárním součinem najděte ortogonální doplněk podprostoru V= [(1,2,-1,-3,3), (1,-2,3,1,-1)]. Příklad. 8. Spočtěte kolmou projekci vektoru u = (2,11, —3, —4, 7) do podprostoru V a jeho ortogonálního doplňku V± z předchozího příkladu. 1 2 Příklad. 9. Uvažujme IRn se standardním skalárním součinem a nadrovinu p d\X\ + a2X2 + ' ' ' + CbnX, n 0. Pomocí skalárního součinu napište předpis lineárního zobrazení P : IRn —> IRn, které je kolmou projekcí do nadroviny p. (Předpokládáme, že (ai, a2, • • •, a>n) 7^ (0, 0,..., 0).) Příklad. 10. Nechť tp : IR3 —>• IR3 je kolmá projekce na rovinu 2xi — X2 + 2^3 = 0. Najděte matici A tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je Příklad. Kvadratická forma / : IR4 —> IR má ve standardní bázi vyjádření f(u) = 2X\X2 + Sx-yX^ — 2x2X3 — 8X2X4 + 8X3X4. Najděte nějakou bázi (3, v jejíž souřadnicích je f(u) = h\\x\ + b22x\ + ^33^3 + bax\, kde čísla ba = 0, 1 nebo — 1.