5. cvičení z LA II - Skalární součin a eukleidovská geometrie, 2023
Příklad. 1. Najděte ortonormální bázi podrostoru
S= [(1,2,-1,3,1), (5,2,-1,7,1), (2,-1,2,-4,-2)] CM5,
jestliže prostor IR5 bereme se standardním skalárním součinem. Použijte k tomu prvně Gram-mův-Schmidtův ortogonalizační proces a potom získané vektory ortogonální báze vynor-mujte (tj. vydělte normou, abyste získali vektory jednotkové velikosti).
Příklad. 2. V IR5 se standardním skalárním součinem najděte ortogonální doplněk podpro-storu
V= [(1,2,-1,-3,3), (1,-2,3,1,-1)].
Příklad. 3. Spočtěte kolmou projekci vektoru u = (2,11, —3, —4, 7) do podprostoru V a jeho ortogonálního doplňku VL z předchozího příkladu.
Příklad. 4. Uvažujme Mn se standardním skalárním součinem a nadrovinu p
aiLř1! + a2x2 H-----h anxn = 0.
Pomocí skalárního součinu napište předpis lineárního zobrazení P : Wl —> IR", které je kolmou projekcí do nadroviny p. (Předpokládáme, že (au a2, ■ ■ ■, an) Ý (0, 0,..., 0).)
Příklad. 5. Nechť ip : IR3 —> R3 je kolmá projekce na rovinu
2xi — x2 + 2x3 = 0. Najděte matici A tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
<p(x) =
Příklad. 6. V IR4 spočítejte vzdálenost bodu A = [3, 3,1, 5] od roviny
p : Xi — x% = —2,    x2 + X4 = 6. Navíc najděte bod R E p takový, že dist(A, p) = \ \A — R\\.
Řešení. R = [1, 2,3,4], dist(A, p) = y/TÔ. □
Příklad. 7. V IR4 určete vzdálenost bodu A = [4,1, —4, —5] od roviny p : [3,-2,1,5] +í(2,3,-2,-2) + s(4,1,3, 2). Současně najděte bod M E p takový, že ||M — A\\ = (A, p).
Příklad. 8. V IR4 určete vzdálenost přímky p od roviny p
p: [5,4,4,5]+r(0,0,l,-4),    p: [4,1,1,0] + s(l,-1, 0, 0) + í(2, 0,-1, 0)
1
2
a body MepaNep,\ nichž se tato vzdálenost realizuje, tj. \\M — N\\ = (p, p).
Příklad. 9. V IR4 určete vzdálenost rovin a ar a body, v nichž se realizuje.
a: [4, 5,3,2] +      2,2,2) + í(2,0,2,1),
r : [1, -2,1, -3] + p(2, -2,1, 2) + g(l, -2, 0,-1).
Příklad. 10. Určete odchylku přímky p : [1, 2, 3,4] + t(—3,15,1, —5) od roviny
p : [0, 0, 0, 0] + r(l, -5, -2,10) + s(l, 8, -2, -16).
Příklad. 11. V IR4 určete odchylku rovin t aa.
a : [2,1,0,1] + s(l,1,1,1) +t(l,-l,l - 1) t: [1,0,1, l]+p(2, 2,1,0) + g(l, -2,2,0).
Příklad. 12. V IR5 spočítejte odchylku roviny p a nadroviny T.
p:S(l,-l,l,l,3)+í(l,-3,-3,-3,-9), r : x\ + 2^2 — ^3 + 3^4 +     = 0.
Další příklady na procvičení
Příklad. 1. [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 6, úloha ld.] Najděte ortonormální bázi podrostoru
V= [(1,1,3,3,4), (1,3,-5,-7,-1), (1,-1,5,7,-3)] CM5,
jestliže prostor IR5 bereme se standardním skalárním součinem.
Příklad. 2. [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 7, úloha 1]
V IR5 se standardním skalárním součinem najděte kolmou projekci vektoru u = (1, 2, 3,4, 5)
do vektorových podprostorů
V= [(3,3,2,1,3), (5,1,4,-1,1)]
W= [(1,-3,4,-2,2), (1,5,-8,-2,4), (1,-9,16,4,-4)] Ve druhém případě spočtěte prvně ortogonální doplněk W± a kolmou projekci vektoru u do
3
Příklad. 3. Nechť tp : IR3 —>• IR3 je kolmá projekce na přímku p procházející počátkem se směrovým vektorem (1, —2,1). Najděte matici B tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
<p(x) = Bx =