\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\n#1{\|{#1}\|}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  6. cvičení z LA II - Eukleidovská geometrie I a vlastní čísla, 2023}
\end{center}
\bigskip

 

\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } 
V $\R^4$ určete vzdálenost přímky $p$ od roviny $\rho$
$$p:\ [5,4,4,5]+r(0,0,1,-4),\quad \rho:\ [4,1,1,0]+s(1,-1,0,0)+t(2,0,-1,0)$$
a body $M\in p$ a $N\in\rho$, v nichž se tato vzdálenost realizuje, tj. $\n{M-N}=\d(p,\rho)$.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }
V $\R^4$ určete vzdálenost rovin $\sigma$ a $\tau$ a body, v nichž se realizuje.
\begin{align*}
\sigma:\ &[4,5,3,2]+s(1,2,2,2)+t(2,0,2,1),\\
\tau:\ &[1,-2,1,-3]+p(2,-2,1,2)+q(1,-2,0,-1).
\end{align*}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Určete odchylku přímky $p:\ [1,2,3,4]+t(-3,15,1,-5)$ od roviny
$$\rho:\ [0,0,0,0]+r(1,-5,-2,10)+s(1,8,-2,-16).$$
 \end{zad}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
V $\R^4$ určete odchylku rovin $\tau$ a $\sigma$.
\begin{align*}
\sigma:\ &[2,1,0,1]+s(1,1,1,1)+t(1,-1,1-1),\\ 
\tau:\ &[1,0,1,1]+p(2,2,1,0)+q(1,-2,2,0).
\end{align*}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
V $\R^5$ spočítejte odchylku roviny $\rho$ a nadroviny $\Gamma$.
\begin{align*}
\rho:\ &s(1,-1,1,1,3)+t(1,-3,-3,-3,-9),\\ 
\Gamma:\ & x_1+2x_2-x_3+3x_4+x_5=0.
\end{align*}
 \end{zad}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení
$$\varphi:\R^3\to\R^3,\quad \varphi(x)=
\begin{pmatrix}5&2&-3\\4&5&-4\\6&4&-4
\end{pmatrix} 
\cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.$$
Pokud lze z vlastních vektorů sestavit bázi prostoru $\R^3$, napište matici zobrazení
$\varphi$ v této bázi.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ } 
Najděte vlastní čísla a vlastní podprostory lineárního zobrazení
$$\psi:\R^3\to\R^3,\quad \psi(x)=
\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&1\\-1&-1&3
\end{pmatrix} 
\cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.$$
Pokud lze z vlastních vektorů sestavit bázi prostoru $\R^3$, napište matici zobrazení
$\psi$ v této bázi.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.\ }
Najděte vlastní čísla a jejich algebraickou a geometrickou násobnost u lineárního zobrazení
$$\varphi:\R^4\to\R^4,\quad \varphi(x)=
\begin{pmatrix}3&-1&0&0\\1&1&0&0\\3&0&5&-3\\4&-1&3&-1
\end{pmatrix} 
\cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}.$$
Bázi vlastních podprostorů doplňte na bázi $\alpha$ celého  prostoru $\R^4$ a napište matici zobrazení $\varphi$ v této bázi.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 9
\begin{zad}{\bf 9.\ }
Pomocí vlastních čísel a vektorů zjistěte, které z následujících matic jsou podobné
diagonální matici nad $\R$ a které nad $\C$.
$$A=\begin{pmatrix}0&0&-2\\1&2&1\\1&0&3
\end{pmatrix},\quad
B=\begin{pmatrix}4&7&-5\\-4&5&0\\1&9&-4
\end{pmatrix} ,\quad
C=\begin{pmatrix}4&2&-5\\6&4&-9\\5&3&-7
\end{pmatrix}. 
$$ 
 \end{zad}





\end{document}

