6. cvičení z LA II - Eukleidovská geometrie I a vlastní čísla, 2023
Příklad. 1. V IR4 určete vzdálenost přímky p od roviny p
p: [5,4,4,5]+r(0,0,1,-4),    p: [4,1,1,0] +      -1, 0, 0) + í(2, 0,-1, 0) a body MepaNep,\ nichž se tato vzdálenost realizuje, tj. \\M — N\\ = (p, p).
Příklad. 2. V IR4 určete vzdálenost rovin a ar a body, v nichž se realizuje.
a: [4, 5,3,2] + s(l, 2,2,2) + í(2,0,2,1),
r : [1, -2,1, -3] + p(2, -2,1, 2) + g(l, -2, 0,-1).
Příklad. 3. Určete odchylku přímky p : [1, 2, 3,4] + t(—3,15,1, —5) od roviny
p : [0, 0, 0, 0] + r(l, -5, -2,10) + s(l, 8, -2, -16).
Příklad. 4. V IR4 určete odchylku rovin r a a.
a : [2,1,0,1] + s(l,l,l,l) +t(l,-l,l - 1), r : [1,0,1, l]+p(2, 2,1,0) + g(l, -2,2,0).
Příklad. 5. V IR5 spočítejte odchylku roviny p a nadroviny T.
p:s(l,-l,l,l,3)+í(l,-3,-3,-3,-9), r : X\ + 2rr2 — ^3 + 3x4 + x5 = 0.
Příklad. 6. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení
up : E3 -> IR3,    v?(x) =
Pokud lze z vlastních vektorů sestavit bázi prostoru IR3, napište matici zobrazení tp v této bázi.
Příklad. 7. Najděte vlastní čísla a vlastní podprostory lineárního zobrazení
/ 1    -1 1\
^ : M3 -> IR3,    i/j(x) =    -1    1    1    • hr2
\-l   -1  3/ \x3/
Pokud lze z vlastních vektorů sestavit bázi prostoru IR3, napište matici zobrazení ip v této bázi.
1
2
Příklad. 8. Najděte vlastní čísla a jejich algebraickou a geometrickou násobnost u lineárního zobrazení
if :
/3	-1 0	o\	/rrA
1	1 0	0	^2
3	0 5	-3	
	-1 3	-v	
Bázi vlastních podprostorů doplňte na bázi a celého prostoru M4 a napište matici zobrazení if v této bázi.
Příklad. 9. Pomocí vlastních čísel a vektorů zjistěte, které z následujících matic jsou podobné diagonální matici nad K a které nad C.
/O  0  -2\ / 4    7  -5\ /4  2 -5N
A = I 1  2    1,   5=1-4  5    0,   C =   6  4 -9 \1  0    3 / \ 1    9  -4/ \5  3 -7,