\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\n#1{\|{#1}\|}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  7. cvičení z LA II - Vlastní čísla a vektory, 2023}
\end{center}
\bigskip


%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }
Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení
$$\varphi:\R^3\to\R^3,\quad \varphi(x)=
\begin{pmatrix}5&2&-3\\4&5&-4\\6&4&-4
\end{pmatrix} 
\cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.$$
Pokud lze z vlastních vektorů sestavit bázi prostoru $\R^3$, napište matici zobrazení
$\varphi$ v této bázi.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Najděte vlastní čísla a vlastní podprostory lineárního zobrazení
$$\psi:\R^3\to\R^3,\quad \psi(x)=
\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&1\\-1&-1&3
\end{pmatrix} 
\cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.$$
Pokud lze z vlastních vektorů sestavit bázi prostoru $\R^3$, napište matici zobrazení
$\psi$ v této bázi.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Najděte vlastní čísla a jejich algebraickou a geometrickou násobnost u lineárního zobrazení
$$\varphi:\R^4\to\R^4,\quad \varphi(x)=
\begin{pmatrix}3&-1&0&0\\1&1&0&0\\3&0&5&-3\\4&-1&3&-1
\end{pmatrix} 
\cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}.$$
Bázi vlastních podprostorů doplňte na bázi $\alpha$ celého  prostoru $\R^4$ a napište matici zobrazení $\varphi$ v této bázi.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Pomocí vlastních čísel a vektorů zjistěte, které z následujících matic jsou podobné
diagonální matici nad $\R$ a které nad $\C$.
$$A=\begin{pmatrix}0&0&-2\\1&2&1\\1&0&3
\end{pmatrix},\quad
B=\begin{pmatrix}4&7&-5\\-4&5&0\\1&9&-4
\end{pmatrix} ,\quad
C=\begin{pmatrix}4&2&-5\\6&4&-9\\5&3&-7
\end{pmatrix}. 
$$ 
 \end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Zobrazení $\varphi$ je symetrií  prostoru
$\mathbb R^3$ podle přímky procházející počátkem se směrovým vektorem $(1,1,1)$. Napište předpis tohoto zobrazení v souřadnicích standardní báze
ve tvaru $\varphi(x)=Ax$. Jaké má $\varphi$ vlastní čísla a vektory?
 \end{zad}
 
 \bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
Zobrazení $\varphi:\ \mathbb R^3\to \R^3$ je kolmá projekce na rovinu
$$x_1-x_2+x_3=0.$$ Napište předpis tohoto zobrazení v souřadnicích standardní báze
ve tvaru $\varphi(x)=Bx$. Jaké má $\varphi$ vlastní čísla a vektory?
 \end{zad}



\end{document}

