7. cvičení z LA II - Vlastní čísla a vektory, 2023 Příklad. 1. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení /5 2 -3\ íxl V{x) =14 5 -4 • \x2 \6 4 -4/ W3y 9? : IR3 —>- IR3, Pokud lze z vlastních vektorů sestavit bázi prostoru IR3, napište matici zobrazení tp v této bázi. Příklad. 2. Najděte vlastní čísla a vlastní podprostory lineárního zobrazení 1 -1 ť ^(x) = [ -1 1 1 ■1 -1 3, ijj : M3 IR3, Pokud lze z vlastních vektorů sestavit bázi prostoru IR3, napište matici zobrazení ip v této bázi. Příklad. 3. Najděte vlastní čísla a jejich algebraickou a geometrickou násobnost u lineárního zobrazení up : R4 -> IR4, /3 -1 0 0\ 1 1 0 0 3 0 5 -3 x3 V -1 3 -v \x4J Bázi vlastních podprostorů doplňte na bázi a celého prostoru IR4 a napište matici zobrazení ip v této bázi. Příklad. 4. Pomocí vlastních čísel a vektorů zjistěte, které z následujících matic jsou podobné diagonální matici nad R a které nad C. /O 0 -2\ / 4 7 -5\ /4 2 -5N A = í 1 2 1, 5=1-4 5 0, C = I 6 4 -9 \1 0 3 / \ 1 9 -4/ \5 3 -7, Příklad. 5. Zobrazení 99 je symetrií prostoru IR3 podle přímky procházející počátkem se směrovým vektorem (1,1,1). Napište předpis tohoto zobrazení v souřadnicích standardní báze ve tvaru