\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\n#1{\|{#1}\|}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  8. cvičení -- Ortonormální operátory, 2023}
\end{center}
\bigskip


\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } 
Zobrazení $\varphi:\ \R^2\to\R^2$ je symetrie podle přímky $x_1-2x_2=0$. Najděte matici
$B$ takovou, že ve standardních souřadnicích je $\varphi\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}=B\cdot\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}$. 

Jaká jsou vlastní čísla zobrazení $\varphi$ a čemu se rovná $\det B$?
 \end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }
Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení
$\varphi(x)=Ax$, kde $$A=\frac13\begin{pmatrix} 2&-1&-2\\ -1&2&-2\\-2&-2&-1
\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\begin{res} $A$ je ortogonální matice, $\det A=-1$, vlastní vektor k  $-1$ je $(1,1,2)$, zobrazení je symetrie podle roviny $x_1+x_2+2x_3=0$.
\end{res}


 
\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení
$\varphi(x)=Bx$, kde $$B=\frac13\begin{pmatrix} 2&-1&2\\ 2&2&-1\\-1&2&2
\end{pmatrix}.$$
 \end{zad}
 
 \bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení
$\varphi(x)=Cx$, kde $$C=\frac13\begin{pmatrix} -2&1&-2\\ -2&-2&1\\1&-2&-2
\end{pmatrix}.$$
 \end{zad}
 
 \begin{res} $C$ je ortogonální matice, $\det C=-1$, vlastní vektor k  $-1$ je $(1,1,1)$, zobrazení je složení symetrie podle roviny $x_1+x_2+x_3=0$ a otočení o úhel $2\pi/3$ od vektoru $(1,-1,0)$ k vektoru $(-1,0,1)$.
\end{res}
 
 \bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Nechť $\varphi:\R^3\to \R^3$ je symetrie podle roviny
$$2x_1-x_2+2x_3=0.$$
Najděte matici $A$ tvaru $3\times 3$ takovou, že v souřadnicích standardní báze je
$$\varphi(x)=Ax=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.$$  
 \end{zad}

\bigskip
%priklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
Zobrazení $\varphi:\ \R^3\to\R^3$ je rotace kolem přímky 
$$x_1-x_2=0\ ,\ x_3=0$$
převádějící vektor $(0,0,2)^T$ na vektor $(\sqrt 2, -\sqrt2,0)^T$. Najděte matici
$B$ takovou, že ve standardních souřadnicích je $\varphi(x)= Bx$. 
 \end{zad}
\vskip 3cm

\centerline{\bf Další úlohy}
\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.} [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 10, úloha 1a.]
\newline
Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení
$\varphi(x)=Gx$, kde 
$$F=\begin{pmatrix} 0&0&-1\\ 1&0&0\\0&-1&0
\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.} 
Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení
$\varphi(x)=Fx$, kde 
$$G=\begin{pmatrix} -1&0&0\\ 0&0&1\\0&-1&0
\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.}  [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 10, úloha 2b.]
\newline
Zobrazení $\varphi:\ \R^3\to\R^3$ je rotace kolem přímky 
$$x_2-x_3=0\ ,\ x_1=0$$
převádějící vektor $(2,0,0)^T$ na vektor $(0,\sqrt 2, -\sqrt2)^T$. Najděte matici
$B$ takovou, že ve standardních souřadnicích je $\varphi(x)= Bx$. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4. }
Nechť $\varphi:\R^3\to \R^3$ je symetrie podle roviny $x_1-x_2+x_3=0$.
Najděte matici $C$ tvaru $3\times 3$ takovou, že v souřadnicích standardní báze je
$\varphi(x)=Cx$.  
\newline

\end{zad}






\end{document}

