8. cvičení - Ortonormální operátory, 2023
Příklad. 1. Zobrazení ip : IR2 —>• IR2 je symetrie podle přímky xi — 2x2 = 0. Najděte matici B takovou, že ve standardních souřadnicích je p> (^jf^J = B ' Jaká jsou vlastní čísla zobrazení ip a čemu se rovná det B7
Příklad. 2. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení ip(x) = Ax, kde
Řešení. A je ortogonální matice, det A = — 1, vlastní vektor k—1 je (1,1,2), zobrazení je symetrie podle roviny x\ + x2 + 2x3 = 0. □
Příklad. 3. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení ip(x) = Bx, kde
Příklad. 4. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p{x) = Cx, kde
Řešení. C je ortogonální matice, det C = — 1, vlastní vektor k—l je (1,1,1), zobrazení je složení symetrie podle roviny xi + x2 + x3 = 0 a otočení o úhel 2n/3 od vektoru (1,-1,0) k vektoru (-1,0,1). □
Příklad. 5. Nechť ip : IR3 —ř IR3 je symetrie podle roviny
2xi — x2 + 2x% = 0. Najděte matici A tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
/ xiN
p>(x) = Ax = A I x2
w
Příklad. 6. Zobrazení ip : IR3 —ř IR3 je rotace kolem přímky
X\ — x2 = 0 , x3 = 0
převádějící vektor (0, 0, 2)T na vektor (y/2, —V2, 0)T. Najděte matici B takovou, že ve standardních souřadnicích je ip(x) = Bx.
i
2
Další úlohy
Příklad. 1. [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 10, úloha la.] Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p(x) = Gx, kde
/O    0 -1N F =    1    0 0 \0  -1 0
Příklad. 2. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p{x) = Fx, kde
■1    0 0N G=I 0     0 1
0   -1 o,
Příklad. 3. [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 10, úloha 2b.] Zobrazení tp : IR3 —ř IR3 je rotace kolem přímky
x2 — x3 = 0 , X\ = 0
převádějící vektor (2, 0, 0)T na vektor (0, y/2, —\/2)T. Najděte matici B takovou, že ve standardních souřadnicích je <p(x) = Bx.
Příklad. 4. Nechť tp : IR3 —ř IR3 je symetrie podle roviny xi — x2 + x3 = 0. Najděte matici C tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je <p(x) = Cx.