9. cvičení Samoadjungované operátory, 2023
Příklad. 1. Uvažujme samoadjungovaný lineární operátor tp : IR2 —> IR3, <p(x) = Ax, kde
Najděte vlastní čísla tohoto operátoru a ortonormální bázi v IR3, která je tvořena vlastními vektory operátoru tp. Napište podobnost mezi maticí A a diagonální maticí s vlastními čísly na diagonále.
Příklad. 2. Uvažujme kvadratickou formu / zadanou v souřadnicích standardní báze takto
f{x) = Ax\ + Ax\ + Ax\ + Axix2 + ^xix% + 4x2x3.
Najděte ortonormální bázi, v jejíž souřadnicích má kvadratická forma / diagonální tvar. Ten rovněž napište.
Příklad. 3. Uvažujme kvadratickou formu g zadanou v souřadnicích standardní báze takto
g{x) = Ylx\ + 14^2 + 14^3 + Axix2 — Ax^x^ + 8x2X3.
Najděte ortonormální bázi, v jejíž souřadnicích má kvadratická forma g diagonální tvar. Ten rovněž napište.
Příklad. 4. V souřadnicích standardní báze napište matici kolmé projekce P : IR3 —> IR3 na rovinu
xi + x2 + x3 = 0. Ukažte, že P je samoadjungovaný operátor.
Příklad. 5. Ukažte, že:
(1) Regulární matice tvaru n x n s prvky v M. nebo v C s operací násobení matic tvoří grupu. Tyto grupy označujeme GL(n, M), resp. GL(n, C).
(2) Množina ortogonálních matic tvaru n x n tvoří podgrupu grupy GL(n, M). Označujeme ji O (n).
(3) Regulární reálné symetrické matice tvaru nxn netvoří podgrupu v grupě GL(n, M). Poznámka. Někteří studenti se s pojmem grupy ještě nesetkali, je potřeba říci, co to je.
Příklad. 1. [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 11, úloha 2.]
V souřadnicích standardní báze napište matici kolmé projekce P : IR3 —ř IR3 na rovinu
3xi + Ax2 + 5^3 = 0.
A
Další úlohy
Ukažte, že P je samoadjungovaný operátor.
1
2
Příklad. 2. [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 11, úloha 3b.] Uvažujme kvadratickou formu g zadanou v souřadnicích standardní báze takto
g{x) = 2x\ + hx\ +      + Axix2 — Ax\x^ — 8x2^3.
Najděte ortonormální bázi, v jejíž souřadnicích má kvadratická forma g diagonální tvar. Ten rovněž napište.