\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\n#1{\|{#1}\|}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  10. cvičení Singulární rozklad a pseudoinverze,  2023}
\end{center}

\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }
Najděte singulární rozklad matice 
$$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\\-2&1\end{pmatrix}$$
a spočítejte její pseudoinverzi.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Najděte singulární rozklad matice 
$$B=\begin{pmatrix}1&-3&1\\1&2&3\end{pmatrix}$$
a spočítejte její pseudoinverzi.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Ukažte, že soustava lineárních rovnic 
$$\begin{array}{rcrcrcr}
x_1&+&x_2&-& x_3& =&2\\
x_1&- &x_2&+&x_3&=&0\\
      & &x_2&+&x_3&=&1\\
-x_1&& &+&x_3&=&-2
\end{array}$$
nemá řešení. Pomocí pseudoinverzní matice najděte všechny nejlepší aproximace řešení této soustavy.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ } 
Úloha lineární regrese. V rovině jsou dány body 
$$[x_1,y_1)=[-1,1],\quad   [x_2,y_2]=[0,0],\quad   [x_3,y_3]=[1,1],\quad   [x_4,y_4]=[2,3].$$
Těmito body proložte  přímku $y=px+q$ tak,  aby součet čtverců
$$\sum_{i=1}^4\left(y_i-(px_i+q)\right)^2$$
byl minimální.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } 
Uvažujme v rovině stejné 4 body jako v předchozí úloze: 
$$[x_1,y_1)=[-1,1],\quad   [x_2,y_2]=[0,0],\quad   [x_3,y_3]=[1,1],\quad   [x_4,y_4]=[2,3].$$
Těmito body proložte  parabolu $y=px^2+qx+r$ tak,  aby součet čtverců
$$\sum_{i=1}^4\left(y_i-(px^2_i+qx_i+r)\right)^2$$
byl minimální.
\end{zad}



 
 
\newpage

\centerline{\bf Další úlohy k 10. cvičení}
\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.} [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly na rozklady matic, úloha 1.]
\newline
Najděte singulární rozklad matice 
$$A=\begin{pmatrix}1&1\\3&1\\2&-3\end{pmatrix}$$
a spočítejte její pseudoinverzi.

\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.} [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly na rozklady matic, úloha 2.]
\newline
Najděte singulární rozklad matice 
$$B=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&1&-2\end{pmatrix}$$
a spočítejte její pseudoinverzi.
\end{zad}




\end{document}

