12. a 13. cvičení, Jordánův kanonický tvar, jaro 2023
Úlohy řešte postupně. Úloha 7 bude, resp. byla rychle udělána na 12. přednášce, ale spočítejte ji ještě jednou. Určitě udělejte příklad 8 na soustavu diferenciálních rovnic.
Příklad. 1. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
0    -1 -1N S= \  Q     5 2 -5  -3 0
Současně najděte regulární matici P takovou, že J = P~1SP.
Příklad. 2. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
/ 1    -1 -1N T = j 2     5 3 \-l   -2 0
Současně najděte regulární matici P takovou, že J = P~XTP.
Příklad. 3. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
/ 1    -1 0\ V =     4     5    0 . \-2 -13/
Současně najděte regulární matici P takovou, že J = P_1VrP.
Příklad. 4. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
/6	-3	-1	1\
2	2	-1	0
0	-4	4	3
V	-2	-2	V
Současně najděte regulární matici P takovou, že J = P 1AP.
Příklad. 5. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
/6 -9 5 4\
7-13 8 7
8 -17 11  8 •
\l -2 13/
Současně najděte regulární matici Q takovou, že J = Q~1GQ.
2
Příklad. 6. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
/ 0    1   -1 l\ -12-11 -1110 \-l   10 1/
Současně najděte regulární matici R takovou, že J = R~XKR.
K
Příklad. 7. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
N
Současně najděte regulární matici P takovou, že J = P 1NP. Návod. Využijte toho, že charakteristický polynom je (1 — A)4.
/4	3	2	-3\
6	9	4	-8
-3	-4	-1	4
\9	9	6	-v
□
Příklad. 8. Pomocí Jordánova kanonického tvaru najděte řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic
x'{t) = Ax(t), x(0)
kde
A
Návod. Matice A = PJP'1, kde
/3   1 0\ J=   0  3   1   , P \0  0 3/
Řešení soustavy je
x{ť)
33íp
2 2
1 0
P-1
P
-i
□
Další úlohy na procvičení
Příklad. 1. [Kaďourek, Domácí úlohy ke cvičení 12, příklad 3] Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
-3
C
5
V5
2
2
5
3
0\
1
2
37
3
Současně najděte regulární matici R takovou, že J = R 1CR. Nápověda: Vlastní číslo 3 algebraické násobnosti 4.
Příklad. 2. [Kaďourek, Domácí úlohy ke cvičení 12, příklad 2] Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
/-3  4 2 -4  5 1 -4  4 3 \-4  4 2
Současně najděte regulární matici Q takovou, že J = Q^BQ. Nápověda: Vlastní číslo 3 algebraické násobnosti 1 a vlastní číslo 1 algebbraické násobnosti 3 .
B
0\
1 0
Příklad. 3. [Kaďourek, Domácí úlohy ke cvičení 12, příklad 4] Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
-1
D
2
1
2
1
2 2
2\
3
4
\ 1 -2-3-5/
Současně najděte regulární matici S takovou, že J = S^DS. Nápověda: Vlastní číslo — 1 algebraické násobnosti 4.
Příklad. 4. [Kaďourek, Domácí úlohy ke cvičení 12, příklad 5] Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
(0	1	0	1\
0	2	1	1
4	-2	4	0
I"4	2	-2	2^
Současně najděte regulární matici T takovou, že J algebraické násobnosti 4.
Příklad. 5. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
4 2\ 0 0 9 5 4 1/
Současně najděte regulární matici P takovou, že J = P~1LP.
T~lFT. Nápověda: Vlastní číslo 2
L
/-13 0
-30 \-12
5
-1 12
6