1. cvičení z lineární algebry II - afinní geometrie, 2024
Příklad. 1. Zopakujte si definici afinního podprostoru ve vektorovém prostom jako součtu bodu a vektorového podprostoru. Ze znalosti vektorových podprostorů v IR2 a v IR3 popište všechny afinní podprostory v IR2 a IR3. Ukažte, že každý afinní podprostor s každými dvěma body A a B obsahuje i jejich afinní kombinaci
tA + {l-t)B.
Me, A £ fa & typ /ivMorovýju^^K*$tot // ^
fitvkt^    ploskom ?žtf£jW'i*ľe     yiélcdi^ i/GLčoirg
Velet,   fičípíro S ho\f        U    JE?2 ^Solí
*     pii'wfccj     jprock   pote tím
i
•   c e/t/
ßf-inm    past p<re>$ Gov* U
/t\   =   M+sW        t   3 = K TAT      , &4ľ
= -bn_-+1, juj t      h f H-é) at
Příklad. 2. Rozhodněte, které z podmnožin jsou afinní podprostory. Pokud jsou, najděte jejich zaměření a dimenzi.
(1) M = {(x,y) G IR2; y2 = x3 + 1} C IR2.
(2) M= {peR5[x}; p(2)+p(3) = 5,p'(20) =21} cR5[x].
(3) ? = {Ce Mat3x3(IR); h(C) < 2} C Mat3x3.
K důkazu, že nejde o afinní podprostor lze využít charakterizaci afinního podprostoru jako podmnožiny obsahující s každými dvěma různými body i přímku, která jimi prochází.
^ti df e?Wk t*ť t^to /i zz jp t U-Jf>)
/j)     fi = i A & 4K^3«3 X CA) ± 2j
X /A) - 2  , ^ ŕ*) - y   * 4 ,3 ^ (P
Příklad. 3. Napište nejdříve parametrický a potom implicitní popis nejmenšího afinního podprostoru v IR4, který obsahuje body
A = [5,2,1,0],   B= [4,1,0,0],   C = [-3,1,0,1].
>^ = S^i -8s *3  - -f - -t --S
4 O & & 01 c? Q
€? 00
0 0  t O
jO O 4 o
o o o 1
0 1 -f 0 4  Ď-1 0)
- i
O 1
o o
0 -f
1 O
0 1-10 A 0 -< l
Příklad. 4. Najděte průnik a spojení afinním podprostorů M a M v IR5: M : [2,3,4,3,6] +a(l,l, 1,-1,1)+ 6(0,0,1,0,1) AT : [2,2,4,4,6] +c(l, 0,0,0,1) +d(0,0,1,0,0) +e(2,l, 1,-1,1).
4  0 0- -1 O
c? o 4-4 0
O <i 4 -1 4
0 o -1 f o
40 1
\
O \ D -/ 2
pojeni"   Q.fl**\t\n fodfHesfau tyl =  Cť I e &Ť
* ****    iMul * C *i(fn)^(h)
Příklad. 5. V E4 určete vzájemnou polohu rovin
7T : 3rci + x2 + 2x3 = 5,    5^ - x2 + 2x4 = 3, p : x1 + 5x2 - 4x3 = -3,    2x2 - xz + x4 = -2.
/ffl a % jsou KU2rto0^e&\ag
/ 2 1    2 O O 2. -1 1
smi £l % ji&as ^Ho^ťS^jo
2-f*) a hlx) *
a/
D -1  1 D Ď   D  4 * \o o   O 4
Příklad. 6. V IR4 určete vzájemnou polohu roviny
p: [3,-1, 0, 0] + 1,1, 0) + í(2,1, 0,1)
a přímek p, q ar, které mají parametrická vyjádření
a) p
b) q
c) r
[7,4,2,3] + a(5,-2,-3,l), [1,2,3,4]+ 6(1,5,3,2), [1,2,3,4] +c(l, 1,1,1).
	
U 4 1 -s	
	
	z
v ^ -f f	3
/ľ
A-/
M * su?t & ^
-f í?3	Z
	3
	
0ř? í?	l 0
@a.oho    {spia   (p <L |P    stoplo e žne'
A/
/ť í?	3	3\
C? a		* 1
0 <	-2 1	
	-z.	-/
1		1 >
i
f/if    Ä (f> .
= 4
ic)   a, :    C+ cj.
f"4      stMfcy-c* = C-AJ
-4 2 -< 1  f 'I \3
p / -f W
1
A-' -
A/
I 40 -1\
\ t?l o \ oo -1 \oo o
o
7-
\
k0 0
/
Příklad. 7. Pomocí afinních kombinací dokažte, že se těžnice v trojúhelníku ABC protínají v jediném bodě.
^aíf/^-e        straty   b q&
Troto
T =
	
2- "~	
ů	
Z- w	
	-Ar