\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  1. cvičení z lineární algebry II - afinní geometrie, 2024}
\end{center}
\bigskip

%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } Zopakujte si definici afinního podprostoru ve vektorovém prostoru jako součtu bodu a vektorového podprostoru.
Ze znalosti vektorových podprostorů v $\R^2$ a v $\R^3$ popište všechny afinní podprostory v $\R^2$ a $\R^3$.
Ukažte, že každý afinní podprostor s každými dvěma body $A$ a $B$ obsahuje i jejich afinní kombinaci 
$$tA+(1-t)B.$$
\end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }
Rozhodněte, které z podmnožin jsou afinní podprostory. Pokud jsou, najděte jejich zaměření a dimenzi.
\begin{enumerate}
\item $\mathcal M=\{(x,y)\in\R^2;\ y^2=x^3+1\}\subset \R^2$. 
\item $\mathcal N=\{p\in\R_5[x];\ p(2)+p(3)=5, p'(20)=21\}\subset \R_5[x]$.
\item $\mathcal P=\{C\in\operatorname{Mat}_{3\times 3}(\R); \ \operatorname h(C)\le 2\}\subset \operatorname{Mat}_{3\times 3}$.
\end{enumerate}
K důkazu, že nejde o afinní podprostor lze využít charakterizaci afinního podprostoru jako podmnožiny obsahující s každými dvěma různými body i přímku, která jimi prochází.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ } 
Napište nejdříve parametrický a potom implicitní popis nejmenšího afinního podprostoru
v $\R^4$, který obsahuje body
$$A=[5,2,1,0],\quad B=[4,1,0,0],\quad C=[-3,1,0,1].$$
\end{zad}


\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ } Najděte průnik a spojení afinním podprostorů $\mathcal M$ 
a $\mathcal N$ v $\R^5$:
\begin{align*}
\mathcal M:&\ [2,3,4,3,6]+a(1,1,1,-1,1)+b(0,0,1,0,1)\\ 
\mathcal N:&\ [2,2,4,4,6]+c(1,0,0,0,1)+d(0,0,1,0,0)+e(2,1,1,-1,1).
\end{align*}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } V $\R^4$ určete vzájemnou polohu rovin
\begin{align*}
\pi:&\ 3x_1+x_2+2x_3=5,\quad 5x_1-x_2+2x_4=3,\\ 
\rho:&\  x_1+5x_2-4x_3=-3,\quad 2x_2-x_3+x_4=-2. 
\end{align*}
 \end{zad}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
V $\R^4$ určete vzájemnou polohu roviny
$$ \rho:\  [3,-1,0,0]+s(-1,1,1,0)+t(2,1,0,1)$$
a přímek $p$, $q$ a $r$, které mají parametrická vyjádření
\begin{enumerate}
\item[a)] $p: [7,4,2,3]+a(5,-2,-3,1),$
\item[b)] $q: [1,2,3,4]+b(1,5,3,2),$
\item[c)] $r: [1,2,3,4]+c(1,1,1,1).$
\end{enumerate} 
 \end{zad}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ } 
Pomocí afinních kombinací dokažte, že se těžnice v trojúhelníku $ABC$ protínají v jediném bodě.
\end{zad}

\end{document}

