\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  3. cvičení z LA II - bilineární a kvadratické formy, 2024}
\end{center}
\bigskip

\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }
Zjistěte, zda následující funkce jsou bilineární  formy. Pokud ano, zjistěte zda jsou symetrické nebo antisymetrické, a napište matici této formy ve standarní bázi prostoru $\R^2$ nebo $\R_2[x]$.
\begin{enumerate}
\item[a)] $f:\R^2\times \R^2\to\R,\ f(x,y)=x_1y_1+x_1y_2-5x_2$,
\item[b)]  $g:\R^2\times\R^2\to\R,\ g(x,y)=x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1-5x_2y_2$,
\item[c)] $h:\R_2[x]\times \R_2[x]\to\R,\ h(p,q)=p(1)q(2)+4p(3)^2q(4)$,
\item[d)]  $k:\R_2[x]\times \R_2[x]\to\R,\ k(p,q)=p(1)q(2)+4p(3)q'(8)$.
\end{enumerate} 
Zde $q'(8)$ značí derivaci polynomu $q$ v čísle $8$.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } K symetrické matici 
$A=\begin{pmatrix} 0&1&2\\1&3&-1\\2&-1&4
\end{pmatrix}$ najděte diagonální matici $D$ kon\-gruentní s $A$. Současně najděte regulární matici $P$ takovou, že $D=P^TAP$. 
\end{zad}
\medskip
\medskip
\brem Matice $P$ není určena jednoznačně.
\erem

%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ } 
Symetrická bilineární forma $f:\R^3\times\R^3\to\R$ má v souřadnicích standardní báze vyjádření $f(u,v)=x_1y_1+2x_1y_2+3x_1y_3+2x_2y_1+3x_3y_1$. ($x$ a $y$ jsou souřadnice vektorů $u$ a $v$ ve standardní bázi.) Najděte v $\R^3$ nějakou její polární bázi, tj. bázi $\beta$ v jejíž souřadnicích má $f$ vyjádření
$f(u,v)=b_{11}\bar  x_1\bar y_1+b_{22}\bar  x_2\bar y_2+b_{33}\bar  x_3\bar y_3$.
Toto vyjádření rovněž najděte. ($\bar x$ a $\bar y$ jsou souřadnice vektorů $u$ a $v$ v bázi
$\beta$.)
\end{zad}
\medskip
\brem Polární báze není určena jednoznačně. Jednoznačně je určen pouze počet kladných a záporných koeficientů v zápisu bilineární formy v souřadnicích polární báze.
\erem

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
 Uvažujme kvadratickou formu $g:\R^2\to\R$, $g(x)=2x_1^2+4x_1x_2-3x_2^2$. Pomocí definice napište matici její symetrické bilineární formy v bázi $\alpha=((1,2), (3,-1))$.  
 \end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Kvadratická forma $f:\R^3\to\R$ má ve standardní bázi vyjádření
$$f(u)=2x_1^2+2x_1x_2-x_2^2-2x_2x_3-x_3^2.$$ Najděte její vyjádření v bázi
$\alpha=\left((1,1,1), (1,1,0),(1,0,0)\right)$. Dále najděte nějakou její  polární bázi, tj. bázi
$\beta$, v jejíž souřadnicích je $f(u)=b_{11}\bar x_1^2+ b_{22}\bar x_2^2+
b_{33}\bar x_3^2$, kde čísla $b_{ii} =0$, $1$ nebo $-1$. Určete signaturu $f$.
 \end{zad}
 

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
 Ve standardních souřadnicích napište nějakou kvadratickou formu $h:\R^3\to\R$, která je pozitivně definitní na podprostoru $V$ a negativně definitní na podprostoru $W$, kde 
 $$V=[(1,0,2),(0,1,1)],\quad W=[(1,1,0)].$$
 \end{zad}

\bigskip
\centerline{\bf Úloha na další procvičení}
\medskip
\begin{zad} 
Kvadratická forma $f:\R^4\to\R$ má ve standardní bázi vyjádření
$$f(u)=2x_1x_2 +8x_1x_3-2x_2x_3-8x_2x_4+8x_3x_4.$$ 
Najděte nějakou  bázi
$\beta$, v jejíž souřadnicích je $f(u)=b_{11}\bar x_1^2+ b_{22}\bar x_2^2+
b_{33}\bar x_3^2+b_{44}\bar x_4^2$, kde čísla $b_{ii} =0$, $1$ nebo $-1$.
\end{zad}

\end{document}

