3. cvičení z LA II - bilineární a kvadratické formy, 2024
Příklad. 1. Zjistěte, zda následující funkce jsou bilineární formy. Pokud ano, zjistěte zda jsou symetrické nebo antisymetrické, a napište matici této formy ve standarní bázi prostoru IR2 nebo R2[x].
a) /:K2xl24l, f(x, y) = xlVl + xxy2 - 5x2,
b) g : R2 x R2     R, g(x, y) = xxyx + 2xxy2 + 2x2yx - 5x2y2,
c) h : R2[x] x R2[x]     R, h(p, g) = p(l)g(2) + 4p(3)2g(4),
d) k : R2[x] x R2[x] -> R, k(p, q) = p(l)g(2) + 4p(3)^(8). Zde g'(8) značí derivaci polynomu g v čísle 8.
/O    1     2 \
Příklad. 2. K symetrické matici A = j 1    3    — 1 I najděte diagonální matici D kon-
V2  -1 4/
gruentní s A. Současně najděte regulární matici P takovou, že D = PTAP. Poznámka. Matice P není určena jednoznačně.
Příklad. 3. Symetrická bilineární forma / : IR3 x IR3 —> R má v souřadnicích standardní báze vyjádření f(u,v) = xľyľ + 2xľy2 + 3xľy3 + 2x2yľ + 3x3yľ. (x a y jsou souřadnice vektorů uauve standardní bázi.) Najděte v IR3 nějakou její polární bázi, tj. bázi (3 v jejíž souřadnicích má / vyjádření f(u, v) = bužiýi + b22x2y2 + 633X3^3. Toto vyjádření rovněž najděte, (x a y jsou souřadnice vektorů iiauv bázi (5.)
Poznámka. Polární báze není určena jednoznačně. Jednoznačně je určen pouze počet kladných a záporných koeficientů v zápisu bilineární formy v souřadnicích polární báze.
Příklad. 4. Uvažujme kvadratickou formu g : IR2 —> R, g(x) = 2x\ + Axix2 — 3x2. Pomocí definice napište matici její symetrické bilineární formy v bázi a = ((1, 2), (3, —1)).
Příklad. 5. Kvadratická forma / : IR3 —> R má ve standardní bázi vyjádření
f(u) = 2x\ + 2x\X2 — x\ — 2x2x3 — x2.
Najděte její vyjádření v bázi a = ((1,1,1), (1,1, 0), (1, 0, 0)). Dále najděte nějakou její polární bázi, tj. bázi (3, v jejíž souřadnicích je f{u) = b\\x\ + b22x\ + 633X3, kde čísla ba = 0, 1 nebo —1. Určete signaturu /.
Příklad. 6. Ve standardních souřadnicích napište nějakou kvadratickou formu h : R3 —> R, která je pozitivně definitní na podprostoru V a negativně definitní na podprostoru W, kde
V= [(1,0, 2), (0,1,1)],    W = [(1,1,0)].
Úloha na další procvičení Příklad. Kvadratická forma / : IR4 —> R má ve standardní bázi vyjádření
f(u) = 2x\x2 + 8x1X3 — 2x2X3 — 8x2X4 + 8x3X4.
1
2
Najděte nějakou bázi (3, v jejíž souřadnicích je f{u) = h\\x\ + 622^2 + ^33^3 + bu^l, kde čísla ba = 0, 1 nebo — 1.