4. cvičení z LA II - bilineární a kvadratické formy, 2024
Příklad. 1. K symetrické matici A = I 1    3    — 1 I najděte diagonální matici D kon-
V2  -1 4/
gruentní s A. Současně najděte regulární matici P takovou, že D = PTAP. Poznámka. Matice P není určena jednoznačně.
Příklad. 2. Symetrická bilineární forma / : IR3 x IR3 —> IR má v souřadnicích standardní báze vyjádření f(u,v) = xľyľ + 2xľy2 + *šx\y3 + 2x2y\ + 3x3y\. (x a y jsou souřadnice vektorů uauve standardní bázi.) Najděte v IR3 nějakou její polární bázi, tj. bázi (3 v jejíž souřadnicích má / vyjádření f(u, v) = bužiýi + b22x2y2 + b33x3y3. Toto vyjádření rovněž najděte, (x a y jsou souřadnice vektorů iiauv bázi (5.)
Poznámka. Polární báze není určena jednoznačně. Jednoznačně je určen pouze počet kladných a záporných koeficientů v zápisu bilineární formy v souřadnicích polární báze.
Příklad. 3. Uvažujme kvadratickou formu g : IR2 —> IR, g{x) = 2x\ + Axix2 — ?>x\. Pomocí definice napište matici její symetrické bilineární formy v bázi a = ((1, 2), (3, —1)).
Příklad. 4. Kvadratická forma / : IR3 —> IR má ve standardní bázi vyjádření
f(u) = 2x\ + 2xiX2 — x\ — 2x2x3 — x\.
Najděte její vyjádření v bázi a = ((1,1,1), (1,1, 0), (1, 0, 0)). Dále najděte nějakou její polární bázi, tj. bázi (3, v jejíž souřadnicích je f{u) = bux\ + 622^2 + ^33^3* kde čísla ba = 0, 1 nebo —1. Určete signaturu /.
Příklad. 5. Ve standardních souřadnicích napište nějakou kvadratickou formu h : IR3 —> IR, která je pozitivně definitní na podprostoru V a negativně definitní na podprostoru W, kde
V= [(1,0, 2), (0,1,1)],    W = [(1,1,0)].
Příklad. 6. Definují následující symetrické bilineární formy skalární součin na IR3? ( Postup: napište pro ně příslušné kvadratické formy a pomocí Sylvestrova kriteria zjistěte, zda jsou pozitivně definitní.) Pokud ano, napište pro ně Cauchyovu nerovnost.
a) f(x, y) = xxyx + 3x2y2 + 5x3y3 + 3xľy3 + 3x3yľ - x2y3 - x3y2,
b) f(x, y) = xxy\ + 3x2y2 + 5x3y3 + 2xľy3 + 2x3y± - x2y3 - x3y2,
c) f(x, y) = xxy2 + x2yi + 2xty3 + 2x3yt + Ax2y3 + Ax3y2,
d) f(x, y) = xxyx - 2xxy2 - 2x2yx + 5x2y2 - x2y3 - x3y2 + 2x3y3.
Příklad. 8. Pomocí skalárního součinu dokažte:
(1) V rovnoběžníku je součet druhých mocnin úhlopříček roven součtu druhých mocnin všech stran.
(2) Rovnoběžník je kosočtverec, právě když jsou jeho úhlopříčky na sebe kolmé.
1
Úloha na další procvičení Příklad. Kvadratická forma / : IR4 —> IR má ve standardní bázi vyjádření
f(u) = 2X\X2 + 8X1X3 — 2X2X3 — 8X2X4 + 8X3X4.
Najděte nějakou bázi (3, v jejíž souřadnicích je f{u) = bux\ + 622^2 + ^33^3 + ^44^1% kde čísla hj = 0, 1 nebo — 1.