5. cvičení z LA II - skalární součin, 2024
Příklad. 1. Definují následující symetrické bilineární formy skalární součin na IR3? Pokud ano, napište pro ně Cauchyovu nerovnost.
a) f(x, y) = xxyx + 3x2y2 + 5x3y3 + 3xľy3 + 3x3y1 - x2y3 - x3y2,
b) f(x, y) = xxyx + 3x2y2 + 5x3y3 + 2xľy3 + 2x3y± - x2y3 - x3y2,
c) f(x, y) = xxy2 + x2yx + Ix^yz + 2x3yx + Ax2y3 + Ax3y2,
d) f(x, y) = xxyx - 2xxy2 - 2x2yx + 5x2y2 - x2y3 - x3y2 + 2x3y3.
Příklad. 2. Pomocí skalárního součinu dokažte:
(1) V rovnoběžníku je součet druhých mocnin úhlopříček roven součtu druhých mocnin všech stran.
(2) Rovnoběžník je kosočtverec, právě když jsou jeho úhlopříčky na sebe kolmé.
Příklad. 3. Najděte ortonormální bázi podprostoru
S= [(1,2,-1,3,1), (5,2,-1,7,1), (2,-1,2,-4,-2)] CM5,
jestliže prostor IR5 bereme se standardním skalárním součinem. Použijte k tomu prvně Gram-mův-Schmidtův ortogonalizační proces a potom získané vektory ortogonální báze vynor-mujte (tj. vydělte normou, abyste získali vektory jednotkové velikosti).
Příklad. 4. V IR5 se standardním skalárním součinem najděte ortogonální doplněk podprostoru
V= [(1,2,-1,-3,3), (1,-2,3,1,-1)].
Příklad. 5. Spočtěte kolmou projekci vektoru u = (2,11, —3, —4, 7) do podprostoru V a jeho ortogonálního doplňku V± z předchozího příkladu.
Příklad. 6. Uvažujme IRn se standardním skalárním součinem a nadrovinu p
d\X\ + 02^2 + ' ' ' + 0,nXn = 0.
Pomocí skalárního součinu napište předpis lineárního zobrazení P : IRn —> W1, které je kolmou projekcí do nadroviny p. (Předpokládáme, že (ai, a2,..., an) ^(0,0,..., 0).)
Příklad. 7. Nechť tp : IR3 —ř IR3 je kolmá projekce na rovinu
2x\ — x2 + 2x3 = 0. Najděte matici A tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
íXl\
<p(x) = Ax = A I x2 .
w
1
2
Příklad. 8. V IR4 spočítejte vzdálenost bodu A = [3, 3,1, 5] od roviny
p : Xi — x3 = —2,    x2 + x4 = 6. Navíc najděte bod R E p takový, že dist(A, p) = \ \A — R\\.
Řešení. R = [1, 2,3,4], dist(A, p) = y/TÔ. □
Příklad. 9. V IR4 určete vzdálenost bodu A = [4,1, -4, -5] od roviny
p : [3,-2,1,5] +t(2,3, -2,-2) + s(4,1,3, 2). Současně najděte bod M E p takový, že | |M — A\ \ = dist(A, p).
Další příklady na procvičení
Příklad. 1. Najděte ortonormální bázi podrostoru
V= [(1,1,3,3,4), (1,3,-5,-7,-1), (1,-1,5,7,-3)] CM5, jestliže prostor IR5 bereme se standardním skalárním součinem.
Příklad. 2. V IR5 se standardním skalárním součinem najděte kolmou projekci vektoru u = (1, 2, 3,4, 5) do vektorových podprostorů
V = [(3,3,2,1,3), (5,1,4,-1,1)]
W= [(1,-3,4,-2,2), (1,5,-8,-2,4), (1,-9,16,4,-4)]
Ve druhém případě spočtěte prvně ortogonální doplněk W1 a kolmou projekci vektoru u do W±.
Příklad. 3. Nechť ^ : IR3 —^ IR3 je kolmá projekce na přímku p procházející počátkem se směrovým vektorem (1, —2,1). Najděte matici B tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
íxi
<f(x) = Bx = B I x2