\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\n#1{\|{#1}\|}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  6. cvičení z LA II - eukleidovská geometrie, 2024}
\end{center}
\bigskip

 

\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.}
V $\R^4$ spočítejte vzdálenost bodu $A=[3,3,1,5]$ od nadroviny
$$\rho:\ x_1+2x_2-2x_3+4x_4=5.$$
Navíc najděte bod $R\in \rho$ takový, že $\operatorname{dist}(A,\rho)=||A-R||$.  
\end{zad}

\begin{res}  $\operatorname{dist}(A,\rho)=22/5$.
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.\ }
V $\R^4$ určete vzdálenost bodu $A=[4,1,-4,-5]$ od roviny
$$\rho:\ [3,-2,1,5]+t(2,3,-2,-2)+s(4,1,3,2).$$
Současně najděte bod $R\in\rho$ takový, že $\n{M-A}=\operatorname{dist}(A,\rho)$. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.\ } 
V $\R^4$ určete vzdálenost přímky $p$ od roviny $\rho$
$$p:\ [5,4,4,5]+r(0,0,1,-4),\quad \rho:\ [4,1,1,0]+s(1,-1,0,0)+t(2,0,-1,0)$$
a body $M\in p$ a $N\in\rho$, v nichž se tato vzdálenost realizuje, tj. $\n{M-N}=\d(p,\rho)$.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.\ }
V $\R^4$ určete vzdálenost rovin $\sigma$ a $\tau$ a body, v nichž se realizuje.
\begin{align*}
\sigma:\ &[4,5,3,2]+s(1,2,2,2)+t(2,0,2,1),\\
\tau:\ &[1,-2,1,-3]+p(2,-2,1,2)+q(1,-2,0,-1).
\end{align*}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Určete odchylku přímky $p:\ [1,2,3,4]+t(-3,15,1,-5)$ od roviny
$$\rho:\ [0,0,0,0]+r(1,-5,-2,10)+s(1,8,-2,-16).$$
 \end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.\ }
V $\R^4$ určete odchylku rovin $\tau$ a $\sigma$.
\begin{align*}
\sigma:\ &[2,1,0,1]+s(1,1,1,1)+t(1,-1,1-1),\\ 
\tau:\ &[1,0,1,1]+p(2,2,1,0)+q(1,-2,2,0).
\end{align*}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 7.\ }
V $\R^5$ spočítejte odchylku roviny $\rho$ a nadroviny $\Gamma$.
\begin{align*}
\rho:\ &s(1,-1,1,1,3)+t(1,-3,-3,-3,-9),\\ 
\Gamma:\ & x_1+2x_2-x_3+3x_4+x_5=0.
\end{align*}
 \end{zad}



\bigskip
\centerline{\bf Další příklady na procvičení}
\medskip
\begin{zad}{\bf 1.} 
Najděte ortonormální bázi podrostoru
$$V=\left[(1,1,3,3,4),\ (1,3,-5,-7,-1),\ (1,-1,5,7,-3)\right]\subset \R^5,$$
jestliže prostor  $\R^5$ bereme se standardním skalárním součinem.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.} 
 V $\R^5$ se standardním skalárním součinem najděte kolmou projekci vektoru
  $u=(1,2,3,4,5)$ do vektorových podprostorů
  \begin{align*}
  V&=[(3,3,2,1,3),\ (5,1,4,-1,1)]\\
  W&=[(1,-3,4,-2,2),\ (1,5,-8,-2,4),\  (1,-9,16,4,-4)]
  \end{align*} 
  Ve druhém případě spočtěte prvně ortogonální doplněk $W^{\perp}$ a kolmou projekci
  vektoru $u$ do $W^{\perp}$. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.}
Nechť $\varphi:\R^3\to \R^3$ je kolmá projekce na přímku $p$ procházející počátkem se směrovým vektorem $(1,-2,1)$.
Najděte matici $B$ tvaru $3\times 3$ takovou, že v souřadnicích standardní báze je
$$\varphi(x)=Bx=B\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.$$  
\end{zad}





\end{document}

