6. cvičení z LA II - eukleidovská geometrie, 2024 Příklad. 1. V IR4 spočítejte vzdálenost bodu A = [3, 3,1, 5] od nadroviny p : X\ + 2rr2 — 2rr3 + 4rr4 = 5. Navíc najděte bod R E p takový, že dist(A, p) = \ \A — R\\. Řešení. dist(A,p) = 22/5. Příklad. 2. V IR4 určete vzdálenost bodu A = [4,1, —4, —5] od roviny p : [3, -2,1,5]+ í(2,3, -2, -2) + s(4,1, 3, 2). Současně najděte bod i? G p takový, že ||M — A\\ = dist(A,p). Příklad. 3. V IR4 určete vzdálenost přímky p od roviny p p: [5,4,4,5]+r(0,0,1,-4), p: [4,1,1,0] + -1, 0, 0) + í(2, 0,-1, a body MepaNep,\ nichž se tato vzdálenost realizuje, tj. \\M — N\\ = (p, p). Příklad. 4. V IR4 určete vzdálenost rovin a ar a body, v nichž se realizuje. a: [4, 5,3,2] + s(l, 2,2,2) + í(2,0,2,1), r : [1, -2,1, -3] + p(2, -2,1, 2) + g(l, -2, 0,-1). Příklad. 5. Určete odchylku přímky p : [1, 2, 3,4] + t(—3,15,1, —5) od roviny p : [0, 0, 0, 0] + r(l, -5, -2,10) + s(l, 8, -2, -16). Příklad. 6. V IR4 určete odchylku rovin r a a. a : [2,1,0,1] + s(l,l,l,l) +t(l,-l,l - 1), t: [1,0,1, l]+p(2, 2,1,0) + g(l, -2,2,0). Příklad. 7. V IR5 spočítejte odchylku roviny p a nadroviny T. p:s(l,-l,l,l,3)+í(l,-3,-3,-3,-9), r : rri + 2^2 — 3?3 + 3^4 + = 0. Další příklady na procvičení Příklad. 1. Najděte ortonormální bázi podrostoru V= [(1,1,3,3,4), (1,3,-5,-7,-1), (1,-1,5,7,-3)] C s5 jestliže prostor IR bereme se standardním skalárním součinem. 2 Příklad. 2. V IR5 se standardním skalárním součinem najděte kolmou projekci vektoru u = (1, 2, 3,4, 5) do vektorových podprostorů V= [(3,3,2,1,3), (5,1,4,-1,1)] W= [(1,-3,4,-2,2), (1,5,-8,-2,4), (1,-9,16,4,-4)] Ve druhém případě spočtěte prvně ortogonální doplněk W± a kolmou projekci vektoru u do W±. Příklad. 3. Nechť tp : IR3 —>• IR3 je kolmá projekce na přímku p procházející počátkem se směrovým vektorem (1, —2,1). Najděte matici B tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je íXl\