7. cvičení z LA II - eukleidovská geometrie II, vlastní čísla a vektory, 2024
Příklad. 1. Určete odchylku přímky p : [1, 2, 3,4] + í(—3,15,1, —5) od roviny
p : [0, 0, 0, 0] + r(l, -5, -2,10) + s(l, 8, -2, -16).
Příklad. 2. V IR4 určete odchylku rovin r a a.
^[^í.o^i + ^i.uj+ía.-M-i)
r : [1,0,1, l]+p(2, 2,1,0)+ <?(!, -2,2,0).
Příklad. 3. V IR5 spočítejte odchylku roviny p a nadroviny T.
p:s(l,-l,l,l,3)+í(l,-3,-3,-3,-9), r : rri + 2x2 — ^3 + 3^4 +     = 0.
Příklad. 4. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení
/5  2 -3N
9? : IR3 —>• IR3,    v?(x) =14  5 -4
\6  4 -4,
Pokud lze z vlastních vektorů sestavit bázi prostoru IR3, napište matici zobrazení tp v této bázi.
Řešení. Charakteristický polynom je —A3 + 6A2 — 11A + 6 = (1 — A)(A — 2)(A — 3), vlastní vektory postupně pro vlastní čísla 1, 2, 3 jsou ui = (1,1,2), u2 = (1, 0,1), w3 = (1,2, 2). □
Příklad. 5. Najděte vlastní čísla a vlastní podprostory lineárního zobrazení
/ 1    -1   1\ íxx
Í) : R3 -> IR3,    xp(x) =    -1    1    1    • hr2
\-l   -1   3/ \ar3
Pokud lze z vlastních vektorů sestavit bázi prostoru IR3, napište matici zobrazení ip v této bázi.
Řešení. Charakteristický polynom je (1 — A)(A — 2)2, vlastní vektory: pro vlastní číslo 1 je ui = (1,1,1), pro vlastní číslo 2 jsou u2 = (1, 0,1) a it3 = (—1,1, 0). □
Příklad. 6. Najděte vlastní čísla a jejich algebraickou a geometrickou násobnost u lineárního zobrazení
ip : R4 -> IR4,
/3	-1 0	0\	
1	1 0	0	^2
3	0 5	-3	x3
	-1 3	-v	\x4J
Bázi vlastních podprostorů doplňte na bázi a celého prostoru IR4 a napište matici zobrazení ip v této bázi.
Řešení. Charakteristický polynom je (A—2)4, vlastní vektory jsou au1+bu2, ui = (1,1,0,1),
U2 = (-1,-1,1,0). □
2
Příklad. 7. Pomocí vlastních čísel a vektorů zjistěte, které z následujících matic jsou podobné diagonální matici nad IR a které nad C.
Řešení. A: Charakteristický polynom je (1 — A)(A — 2)2, vlastní vektory k vlastním číslům 1, 2 jsou postuponě ui = (—2,1,1), u2 = (—1,0, l),w3 = (0,1, 0). Je podobná diagonální matici nad IR.
B: Charakteristický polynom je -A3 + 5A2 - 17A + 13 = (1 - A)(A2 - 4A + 13). Vlastní čísla 1,2 ± 3i. Podobná diagonální matici nad C, ale nikoliv nad IR.
C: Charakteristický polynom je A2(l — A). K vlastnímu číslu 0 pouze jednorozměrný vlastní podprostor [(—7, 3, 2)]. Není podobná diagonální matici nad IR ani nad C. □
A