8. cvičení - Ortogonální operátory, 2024
Příklad. 1. Zobrazení tp : IR —>• IR je symetrie podle přímky xi — 2x2 = 0. Najděte matici B takovou, že ve standardních souřadnicích je o? ( Xl ) = B ■ [Xl Jaká jsou vlastní čísla zobrazení tp a čemu se rovná det B7
Příklad. 2. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p(x) = Ax, kde
1 ( 2    _1 ~*\ A = -\-l    2    -2 .
3 \-2  -2 -1/
Řešení. A je ortogonální matice, det A = — 1, vlastní vektor k — 1 je (1,1, 2), zobrazení je symetrie podle roviny xi + x2 + 2rr3 = 0. □
Příklad. 3. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p(x) = Bx, kde
2-12
Řešení. B je ortogonální matice, det B = 1, vlastní vektor k 1 je (1,1,1), zobrazení je otočení kolem osy (1,1,1) o úhel n/3 od vektoru (1, —1, 0) k vektoru (1, 0,-1). □
Příklad. 4. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení (p(x) = Cx, kde
-2    1 -2N
Řešení. C je ortogonální matice, det C = — 1, vlastní vektor k—l je (1,1,1), zobrazení je složení symetrie podle roviny xi + x2 + x3 = 0 a otočení o úhel 2n/3 od vektoru (1,-1,0) k vektoru (-1,0,1). □
Příklad. 5. Nechť tp : IR3 —ř IR3 je symetrie podle roviny
2xi — x2 + 2x3 = 0. Najděte matici A tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
/ xiN
<f(x) = Ax = A I x2 W
Příklad. 6. Zobrazení 99 : IR3 —^ IR3 je rotace kolem přímky
xi — x2 = 0 ,     = 0 1
2
převádějící vektor (0, 0, 2)T na vektor (y/2, — y/2, 0)T. Najděte matici B takovou, že ve standardních souřadnicích je <p(x) = Bx.
Další úlohy
Příklad. 1. [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 10, úloha la.] Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p(x) = Gx, kde
/O    0 -l\ F =    1    0     0 . \0  -1 OJ
Příklad. 2. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p(x) = Fx, kde
f-1    0 0\ G =     0     0    1 . \0    -1 0/
Příklad. 3. [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 10, úloha 2b.] Zobrazení tp : IR3 —ř IR3 je rotace kolem přímky
X2 — x% = 0 , X\ = 0
převádějící vektor (2, 0, 0)T na vektor (0, y/2, —\/2)T. Najděte matici B takovou, že ve standardních souřadnicích je <p(x) = Bx.
Příklad. 4. Nechť tp : IR3 —ř IR3 je symetrie podle roviny xx — x2 + x% = 0. Najděte matici C tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je <p(x) = Cx.