8. cvičení z lineární algebry II
Příklad. 1. Lineární zobrazení tp :
cos a — sin a sin a    cos a
x2l     \sina    cos a j \x2 je otočení o úhel a proti směru hodinových ručiček. Přesvědčte se o tom tím, že zobrazíte
'i\      fo\   frcos(3\ f atea<2>
0)>e2={l)a{rSmí3)-       ^^^>  VI A<UX<«<4>
Ukažte podle definice, že je to nrtnnnrpi.ilin upri ilni^nn li li determinant příslušná matice a v oboru komplexníciřčťSěl najděte její vlastní čísla.
vektory e\
ydete jeji vlastni cisla.
jb0ť# PtfLc ^/u.
^KfitôroQ + Orot* mW &
Ort (p+s) ^
i
J
At/U PC \
Cbtč/ptsút esu
(Ml
±ifZV~r   _ Ž.<*>*± iÚJ-a*,2*
2-
Příklad. 2. Zobrazení 99 : IR2 —> IR2 je symetrie podla^primky x\ — 2x2 = 0. Najděte matici B takovou, že ve standardních souřadnicích je tp Jaká jsou vlastní čísla zobrazení tp a čemu se rovná
v/
/v = 0,-2)
>2
2. 1
2/c *tr
3 -
- Q - £ >
^ B -   E- Ži- = l£
Příklad. 3. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení ip(x) = Ax, kde
2-1 -2> A = -\-l    2 -2
-2  -2 -1
V
t/J. ^
íŽ^oí — —"—---
=-4.
\ —'
(%)   /"*yn*<j2sCcAjÍ     </*&Č£es   <?&ZC<^i ýU^O^L
ÚC3 (X
k* /J ftěfift
4
2^ 4
8
2.1-
4ííôj^ súce," A *e- -4
3»
3
2.
3
-1
sir
4/
~2 -Z -<
Příklad. 4. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p(x) = Bx, kde
2-12
B = -    2     2    -1 I . 3 »  -1    2 2
--7
1/1
- 1
4f -LAS
[o
(p (r) -
±2-1 -Z
-* 1   Z   2   - V
q f.
f ■
3
z.
o.
5
Příklad. 5. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení ip(x) = Cx, kde
1 **í'l
u   4 -7. -2-
- 2.
3 f3
1^
-1
4
* -Z1
0 O
/CO
r
/IťL II, /Ír - -f
-2 1-7. \
<( -2
-2/
ß#C*    =" -"--- :
Příklad. 6. Nechť ^ : IR3 —> IR3 je symetrie podle roviny
2xi — x2 + 2a;3 = 0. Najděte matici A tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
/ Xi
<p(x) = Ax = A I x2
w
t
4 2- O \ J Z £> ú -4 2 1 -2  Y -2.
Iv
-1 9
9    £ -3
4 O O
O * V OPI
% o -e
Příklad. 7. Zobrazení 9? : IR3 —> R3 je rotace kolem přímky
Y* *      X\ — x2 = 0 , x3 = 0
převádějící yp-ktor (0, 0, 2)T na vektor (y/2, — y/2, 0)T. Najděte matici B takovou, že ve standardních souřadnicích je <p(x) = Bx. " "
1T~
<9 7T-
= 0
A 1 O \
ô o -z
J
4 10 O O i
4
-r2
O o
o
4
-ŕ & o o o 4
2> -