\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\n#1{\|{#1}\|}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  12. cvičení Aproximace řešení, Jordanův kanonický tvar, 2024}
\end{center}

\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }
Ukažte, že soustava lineárních rovnic 
$$\begin{array}{rcrcrcr}
x_1&+&x_2&-& x_3& =&2\\
x_1&- &x_2&+&x_3&=&0\\
      & &x_2&+&x_3&=&1\\
-x_1&& &+&x_3&=&-2
\end{array}$$
nemá řešení. Pomocí pseudoinverzní matice najděte všechny nejlepší aproximace řešení této soustavy.
\end{zad}

\begin{res}
\end{res}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Úloha lineární regrese. V rovině jsou dány body 
$$[x_1,y_1)=[-1,1],\quad   [x_2,y_2]=[0,0],\quad   [x_3,y_3]=[1,1],\quad   [x_4,y_4]=[2,3].$$
Těmito body proložte  přímku $y=px+q$ tak,  aby součet čtverců
$\sum_{i=1}^4\left(y_i-(px_i+q)\right)^2$
byl minimální.
\end{zad}

\begin{res}
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Najděte Jordanův kanonický tvar $J$ matice
$$S=\begin{pmatrix}
0&-1&-1\\
6&5&2\\
-5&-3&0
\end{pmatrix}.$$
Současně najděte regulární matici $P$ takovou, že $J=P^{-1}SP$. 
\end{zad}

\begin{res} $J=\begin{pmatrix}
1&1&0\\
0&1&0\\
0&0&3
\end{pmatrix}$. Řetězec k vlastnímu číslu 1 je $u=(1,-2,1)^T$, $v=(0,0,-1)^T$, vlastní vektor v vlastnímu číslu 3 je $w=(0,-1,1)$. Matice $P$ má ve sloupcích souřadnice vektorů $u, v, w$.
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Najděte Jordanův kanonický tvar $J$ matice
$$T=\begin{pmatrix}
1&-1&-1\\
2&5&3\\
-1&-2&0
\end{pmatrix}.$$
Současně najděte regulární matici $P$ takovou, že $J=P^{-1}TP$. 
\end{zad}

\begin{res}  $J=\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&2&1\\
0&0&2
\end{pmatrix}$. Řetězec k vlastnímu číslu 2 je $u=(0,-1,1)^T$, $v=(1,0,-1)^T$, $w=(1,-1,1)$. Matice $P$ má ve sloupcích souřadnice vektorů $u, v, w$.
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Najděte Jordanův kanonický tvar $J$ matice
$$V=\begin{pmatrix}
1&-1&0\\
4&5&0\\
-2&-1&3
\end{pmatrix}.$$
Současně najděte regulární matici $P$ takovou, že $J=P^{-1}VP$. 
\end{zad}

\begin{res}
$J=\begin{pmatrix}
3&1&0\\
0&3&0\\
0&0&3
\end{pmatrix}$. Vlastní vektory jsou $a(0,0,1)^T+b(1,-2,0)^T$. Řetězec délky 2 začíná vlastním vektorem, kde $a=b$. Hledaná báze je tvořena řetězcem
délky dva $u=(1,-2,1)^T$, $v=(0,-1,0)^T$, a vlastním vektorem $w=(0,0,1)$. Matice $P$ má ve sloupcích souřadnice vektorů $u, v, w$.
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.\ }
Najděte Jordanův kanonický tvar $J$ matice
$$A=\begin{pmatrix}
6&-3&-1&1\\
2&2&-1&0\\
0&-4&4&3\\
4&-2&-2&3
\end{pmatrix}.$$
Současně najděte regulární matici $P$ takovou, že $J=P^{-1}AP$. 
\end{zad}

\begin{res} Výpočet charakteristického polynomuje je pracnější. Můžete řádkovými úpravami dostat $0$ na pozicích $A_{31}$ a $A_{41}$ a udělat Laplaceův rozvoj.
Vyjde  $(\lambda-3)(\lambda-4)^3$. Vlastní vektor k 3 je $u=(1,1,1,1)^T$, vlastní vektor k 4 je $v=(1,0,2,0)^T$. Proto
$$ J=\begin{pmatrix}
3&0&0&0\\
0&4&1&0\\
0&0&4&1\\
0&0&0&4
\end{pmatrix}.
$$Řetězec délky tři k vlastnímu vektoru 4 je
$v$, $w=(1,1,0,2)^T$, $z=(1,1,0,2)^T$. Matice $P$ má ve sloupcích vektory $u, v, w, z$. 
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 7.\ } 
Najděte Jordanův kanonický tvar $J$ matice
$$G=\begin{pmatrix}
6&-9&5&4\\
7&-13&8&7\\
8&-17&11&8\\
1&-2&1&3
\end{pmatrix}.$$
Současně najděte regulární matici $Q$ takovou, že $J=Q^{-1}GQ$. 
\end{zad}

\begin{res} Výpočet charakteristického polynomuje je pracnější. Od 1. sloupce odečteme a 4 sloupec a uděláme Laplaceův rozvoj podle 1. slouce.
Char. polynom vyjde  $(\lambda-1)(\lambda-2)^3$. Vlastní vektor k 1 je $u=(3,6,7,1)^T$, vlastní vektory k 2 jsou $a(1,1,1,0)^T+b(-1,0,0,1)^T$. Proto
$$ J=\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&2&1&0\\
0&0&2&0\\
0&0&0&2
\end{pmatrix}.
$$Řetězec délky 2 k vlastnímu vektoru 2 začíná vlastním vektorem pro $b=0$, tedy $v=(1,1,1,0)^T$, a pokračuje vektorem $w=(-2,-1,0,0)^T$. Hledanou bázi 
vytvořííme z vektorů $u,v.w, z=(-1,0,0,1)^T$.   Tyto vektory určují sloupce matice $Q$.
\end{res}

 

\vskip 1 cm

\centerline{\bf Další příklady}

\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } 
Uvažujme v rovině 4 body: 
$$[x_1,y_1)=[-1,1],\quad   [x_2,y_2]=[0,0],\quad   [x_3,y_3]=[1,1],\quad   [x_4,y_4]=[2,3].$$
Těmito body proložte  parabolu $y=px^2+qx+r$ tak,  aby součet čtverců
$$\sum_{i=1}^4\left(y_i-(px^2_i+qx_i+r)\right)^2$$
byl minimální.
\end{zad}

\end{document}

