12. cvičení Aproximace řešení, Jordánův kanonický tvar, 2024
Příklad. 1. Ukažte, že soustava lineárních rovnic
xi   +  x2   -   x3   = 2
X\    —    X2    +    3?3    = 0 X2    +    X3    = 1
-xi +  x3   = -2
nemá řešení. Pomocí pseudoinverzní matice najděte všechny nejlepší aproximace řešení této soustavy.
Řešení. □
Příklad. 2. Úloha lineární regrese. V rovině jsou dány body
[xi,yi) = [-1,1],    [x2,y2] = [0,0],    [x3,y3] = [1,1],    [x4,y4] = [2,3].
Těmito body proložte přímku y = px + q tak, aby součet čtverců Y^t=i (.Vi ~ (Px* + (l))2 byl minimální.
Řešení. □ Příklad. 3. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
Současně najděte regulární matici P takovou, že J = P 1SP. íl   1 0\
Řešení. J = I 0  1  Ol. Řetězec k vlastnímu číslu 1 je u = (1, —2,1)T, i; = (0, 0, — 1)T, \0  0 3/
vlastní vektor v vlastnímu číslu 3 je w = (0, —1,1). Matice P má ve sloupcích souřadnice vektorů u, v, w. □
Příklad. 4. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
T =
Současně najděte regulární matici P takovou, že J = P XTP. (2  1 0\
Řešení. J = I 0  2   1 I. Řetězec k vlastnímu číslu 2 je u = (0, —1,1)T, w = (1, 0, — 1)T, \0  0 2/
w = (1,-1,1). Matice P má ve sloupcích souřadnice vektorů u,v,w. □
2
Příklad. 5. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
V =
Současně najděte regulární matici P takovou, že J = P XVP. /3   1 0\
Řešení. J =    0  3  0 1. Vlastní vektory jsou a(0, 0,1)T + 6(1, -2,0)T. Řetězec délky \0  0 3/
2 začíná vlastním vektorem, kde a = b. Hledaná báze je tvořena řetězcem délky dva u = (1, —2,1)T, i; = (0, — 1,0)T, a vlastním vektorem w = (0, 0,1). Matice P má ve sloupcích souřadnice vektorů u,v,w. □
Příklad. 6. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
/6	-3	-1	1\
2	2	-1	0
0	-4	4	3
	-2	-2	
Současně najděte regulární matici P takovou, že J = P 1AP.
Řešení. Výpočet charakteristického polynomuje je pracnější. Můžete řádkovými úpravami dostat 0 na pozicích A3i a Au a udělat Laplaceův rozvoj. Vyjde (A — 3)(A — 4)3. Vlastní vektor k 3 je m = (1,1,1,1)T, vlastní vektor k 4 je v = (1,0, 2, 0)T. Proto
/3  0  0 0\
0  4 10
0  0  4  1 • \0  0  0 4/
Řetězec délky tři k vlastnímu vektoru 4 je v, w = (1,1,0, 2)T, z = (1,1,0, 2)T. Matice P má ve sloupcích vektory u, v, w, z. □
Příklad. 7. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice
-9    5 4\ 13   8 7 17  11  8 • -2 13/
Současně najděte regulární matici Q takovou, že J = Q~XGQ.
Řešení. Výpočet charakteristického polynomuje je pracnější. Od 1. sloupce odečteme a 4 sloupec a uděláme Laplaceův rozvoj podle 1. slouce. Char. polynom vyjde (A — 1)(A — 2)3. Vlastní vektor k 1 je u = (3,6,7,1)T, vlastní vektory k 2 jsou a(l, 1,1, 0)T + 6(-l, 0, 0,1)T.
G
/6
7
8
V1
3
Proto
íl  0  0 (A
0  2 10
0  0  2  0 ' \0  0  0 2/
Řetězec délky 2 k vlastnímu vektoru 2 začíná vlastním vektorem pro 6 = 0, tedy v = (1,1,1, 0)T, a pokračuje vektorem w = (—2, —1, 0, 0)T. Hledanou bázi vytvořííme z vektorů tí, v.w, z = (—1, 0, 0,1)T. Tyto vektory určují sloupce matice Q. □
Další příklady
Příklad. 1. Uvažujme v rovině 4 body:
[xi,yi) = [-1,1],    [x2,í/2] = [0,0],    [x3,í/3] = [1,1],    [rr4,t/4] = [2,3]. Těmito body proložte parabolu y = px2 + qx + r tak, aby součet čtverců
"^2 {Vi ~ (px2 + qxí + r))'
i=l
byl minimální.