\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\n#1{\|{#1}\|}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  13. cvičení, Jordanův kanonický tvar II, jaro 2024}
\end{center}

\begin{center}Verze z 20.6. 2024 s několika opravami ve výsledcích.
\end{center}

\medskip
\begin{zad}{\bf 1.\ }
Najděte Jordanův kanonický tvar $J$ matice
$$A=\begin{pmatrix}
6&-3&-1&1\\
2&2&-1&0\\
0&-4&4&3\\
4&-2&-2&3
\end{pmatrix}.$$
Současně najděte regulární matici $P$ takovou, že $J=P^{-1}AP$. 
\end{zad}

\begin{res} Výpočet charakteristického polynomuje je pracnější. Můžete řádkovými úpravami dostat $0$ na pozicích $A_{31}$ a $A_{41}$ a udělat Laplaceův rozvoj.
Vyjde  $(\lambda-3)(\lambda-4)^3$. Vlastní vektor k 3 je $u=(1,1,1,1)^T$, vlastní vektor k 4 je $v=(1,0,2,0)^T$. Proto
$$ J=\begin{pmatrix}
3&0&0&0\\
0&4&1&0\\
0&0&4&1\\
0&0&0&4
\end{pmatrix}.
$$Řetězec délky tři k vlastnímu vektoru 4 je
$v$, $w=(1,1,0,2)^T$, $z=(1,0,1,0)^T$. Matice $P$ má ve sloupcích vektory $u, v, w, z$. 
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Najděte Jordanův kanonický tvar $J$ matice
$$G=\begin{pmatrix}
6&-9&5&4\\
7&-13&8&7\\
8&-17&11&8\\
1&-2&1&3
\end{pmatrix}.$$
Současně najděte regulární matici $Q$ takovou, že $J=Q^{-1}GQ$. 
\end{zad}

\begin{res} Výpočet charakteristického polynomuje je pracnější. Od 1. sloupce odečteme a 4 sloupec a uděláme Laplaceův rozvoj podle 1. slouce.
Char. polynom vyjde  $(\lambda-1)(\lambda-2)^3$. Vlastní vektor k 1 je $u=(3,6,7,1)^T$, vlastní vektory k 2 jsou $a(1,1,1,0)^T+b(-1,0,0,1)^T$. Proto
$$ J=\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&2&1&0\\
0&0&2&0\\
0&0&0&2
\end{pmatrix}.
$$Řetězec délky 2 k vlastnímu vektoru 2 začíná vlastním vektorem pro $b=0$, tedy $v=(1,1,1,0)^T$, a pokračuje vektorem $w=(-2,-1,0,0)^T$. Hledanou bázi 
vytvořííme z vektorů $u,v.w, z=(-1,0,0,1)^T$.   Tyto vektory určují sloupce matice $Q$.
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.\ } 
Najděte Jordanův kanonický tvar $J$ matice
$$K=\begin{pmatrix}
0&1&-1&1\\
-1&2&-1&1\\
-1&1&1&0\\
-1&1&0&1
\end{pmatrix}.$$
Současně najděte regulární matici $R$ takovou, že $J=R^{-1}KR$. 
\end{zad}

\begin{res} Char. polynom je  $(\lambda-1)^4$. Vlastní vektory k 1 jsou $a(1,1,0,0)^T+b(0,0,1,1)^T$. Proto
 JKT má dvě buňky, jsou dvě možnosti.
Rovnice $(K-E)=u$ má řešení pro každý vlastní vektor.  Proto je každý vlastní vektor začátkem nějakého řetězce délky 2. Proto musí být
 $$ J=\begin{pmatrix}
1&1&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&1\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}.
$$
Hledanou bázi vytvoříme z řetězců $u_1=(1,1,0,0,)^T, u_2=(0,0,0,1)^T$ a $v_1=(0,0,1,1)^T, v_2=(0,1,1,0)$.   Tyto vektory určují sloupce matice $R$.
\end{res}


\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.\ } 
Najděte Jordanův kanonický tvar $J$ matice
$$N=\begin{pmatrix}
4&3&2&-3\\
6&9&4&-8\\
-3&-4&-1&4\\
9&9&6&-8
\end{pmatrix}.$$
Současně najděte regulární matici $P$ takovou, že $J=P^{-1}NP$. 
\end{zad}
\begin{navod} Využijte toho, že charakteristický polynom je $(1-\lambda)^4$.
\end{navod}

\begin{res} Char. polynom je  $(\lambda-1)^4$. Vlastní vektory k 1 jsou $a(0,1,0,1)^T+b(-2,0,3,0)^T$. Proto
 JKT má dvě buňky, jsou opět dvě možnosti.
Tentokrát má rovnice $(K-E)=u$ řešení pouze pro vlastní vektory s $a+6b=0$.  Proto nemohou existovat dva lineárně nezávislé řetězce délky 2.  Tedy musí být
 $$ J=\begin{pmatrix}
1&1&0&0\\
0&1&1&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}.
$$
Řetězec délky 3 hledejme pro vlastní vektor s $a=6$, $b=-1$, $u_1=(2,6,-3,6)^T$. Řešení rovnice $(N-E)x=u_1$ je $x=(-1,1,1,0)^T+(-2\beta,\alpha,3\beta.\alpha)^T$. Řešení rovnice $(N-E)y=x$ existuje pro $3+\alpha+6\beta=0$. Volíme tedy $\alpha=-3$, $\beta=0$. Dostáváme řetězec délky tři
$u_1=(2,6,-3,6,)^T, u_2=(-1,-2,1,-3)^T, u_3=(-1,0,1,0)^T$. K nim do báze doplníme  $v_1=(0,1,0,1)^T$.   Tyto vektory určují sloupce matice $P$.
\end{res}

 \bigskip
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Pomocí Jordanova kanonického tvaru najděte řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic 
$$x'(t)=Ax(t),\quad x(0)=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$
kde
$$A=\begin{pmatrix}
2&-1&-1\\
0&2&-1\\
1&2&5
\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\begin{navod} Matice $A=PJP^{-1}$, kde  
$$J=\begin{pmatrix}
3&1&0\\
0&3&1\\
0&0&3
\end{pmatrix},\quad  
P=\begin{pmatrix}
0&-1&2\\
-1&1&-1\\
1&0&0
\end{pmatrix},\quad 
P^{-1}=\begin{pmatrix}
0&0&1\\
1&2&2\\
1&1&1
\end{pmatrix}.$$
Řešení soustavy je 
$$x(t)=\operatorname{e}^{3t}P\cdot \begin{pmatrix}
1&t&t^2/2\\
0&1&t\\
0&0&1
\end{pmatrix}\cdot P^{-1}\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$
\end{navod}
 
\vskip 0,5cm

\centerline{\bf Další úlohy na procvičení}
\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.} [Kaďourek, Domácí úlohy ke cvičení 12, příklad 3]
\newline
Najděte Jordanův kanonický tvar $J$ matice
$$C=\begin{pmatrix}
6&2&-1&0\\
-3&2&1&1\\
5&5&1&2\\
5&3&-2&3
\end{pmatrix}.$$
Současně najděte regulární matici $R$ takovou, že $J=R^{-1}CR$.
Nápověda: Vlastní číslo $3$ algebraické násobnosti $4$. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.} [Kaďourek, Domácí úlohy ke cvičení 12, příklad 2]
\newline
Najděte Jordanův kanonický tvar $J$ matice
$$B=\begin{pmatrix}
-3&4&2&0\\
-4&5&1&1\\
-4&4&3&0\\
-4&4&2&1
\end{pmatrix}.$$
Současně najděte regulární matici $Q$ takovou, že $J=Q^{-1}BQ$. 
Nápověda: Vlastní číslo $3$ algebraické násobnosti $1$ a vlastní číslo $1$ algebbraické násobnosti $3$ . 
\end{zad}


\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.} [Kaďourek, Domácí úlohy ke cvičení 12, příklad 4]
\newline
Najděte Jordanův kanonický tvar $J$ matice
$$D=\begin{pmatrix}
-2&2&1&2\\
-1&1&2&3\\
-1&2&2&4\\
1&-2&-3&-5
\end{pmatrix}.$$
Současně najděte regulární matici $S$ takovou, že $J=S^{-1}DS$. 
Nápověda: Vlastní číslo $-1$ algebraické násobnosti $4$. 
\end{zad}



\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.}  [Kaďourek, Domácí úlohy ke cvičení 12, příklad 5]
\newline
Najděte Jordanův kanonický tvar $J$ matice
$$F=\begin{pmatrix}
0&1&0&1\\
0&2&1&1\\
4&-2&4&0\\
-4&2&-2&2
\end{pmatrix}.$$
Současně najděte regulární matici $T$ takovou, že $J=T^{-1}FT$. Nápověda: Vlastní číslo $2$ algebraické násobnosti $4$.

\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Najděte Jordanův kanonický tvar $J$ matice
$$L=\begin{pmatrix}
-13&5&4&2\\
0&-1&0&0\\
-30&12&9&5\\
-12&6&4&1
\end{pmatrix}.$$
Současně najděte regulární matici $P$ takovou, že $J=P^{-1}LP$. 
\end{zad}


\end{zad}




\end{document}

