13. cvičení, Jordánův kanonický tvar II, jaro 2024 Verze z 20.6. 2024 s několika opravami ve výsledcích. /6 -3 -1 l\ 2 2 -1 0 0 -4 4 3 V -2 -2 V Příklad. 1. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice A Současně najděte regulární matici P takovou, že J = P XAP. Řešení. Výpočet charakteristického polynomuje je pracnější. Můžete řádkovými úpravami dostat 0 na pozicích A31 a A41 a udělat Laplaceův rozvoj. Vyjde (A — 3)(A — 4)3. Vlastní vektor k 3 je m = (1,1,1,1)T, vlastní vektor k 4 je v = (1,0, 2, 0)T. Proto /3 0 0 0\ 0 4 10 0 0 4 1 \0 0 0 4/ J Řetězec délky tři k vlastnímu vektoru 4 je v, má ve sloupcích vektory u, v, w, z. w (1,1,0,2)3 (1,0,1,0)T. Matice P □ Příklad. 2. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice G /6 7 8 V -9 -13 -17 -2 5 8 11 1 4\ 7 Současně najděte regulární matici Q takovou, že J = Q^GQ. Řešení. Výpočet charakteristického polynomuje je pracnější. Od 1. sloupce odečteme a 4 sloupec a uděláme Laplaceův rozvoj podle 1. slouce. Char. polynom vyjde (A — 1)(A — 2)3. Vlastní vektor k 1 je u = (3,6,7,1)T, vlastní vektory k 2 jsou a(l, 1,1, 0)T + 6(-l, 0, 0,1)T. Proto 0 2 0 0 J A o o o\ o o Řetězec délky 2 k vlastnímu vektoru 2 začíná vlastním vektorem pro 6 = 0, tedy v = (1,1,1, 0)T, a pokračuje vektorem w = (—2, —1, 0, 0)T. Hledanou bázi vytvořííme z vektorů u, v.w, z = (—1, 0, 0,1)T. Tyto vektory určují sloupce matice Q. □ Příklad. 3. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice /0 1 -1 l\ -12-11 K 1 0 0 V 2 Současně najděte regulární matici R takovou, že J = R K R. Řešení. Char. polynom je (A — l)4. Vlastní vektory k 1 jsou a(l, 1, 0, 0)T + 6(0, 0,1,1)T. Proto JKT má dvě buňky, jsou dvě možnosti. Rovnice {K — E) = u má řešení pro každý vlastní vektor. Proto je každý vlastní vektor začátkem nějakého řetězce délky 2. Proto musí být /l 1 0 (A 0 10 0 0 0 11 ' \0 0 0 1/ Hledanou bázi vytvoříme z řetězců u\ = (1,1, 0,0, )T, w2 = (0, 0,0,1)T avi = (0, 0,1,1)T, v2 = (0,1,1, 0). Tyto vektory určují sloupce matice R. □ Příklad. 4. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice -3\ -8 4 • -v Současně najděte regulární matici P takovou, že J = P~1NP. Návod. Využijte toho, že charakteristický polynom je (1 — A)4. □ Řešení. Char. polynom je (A — l)4. Vlastní vektory k 1 jsou a(0,1, 0,1)T + b{—2, 0, 3, 0)T. Proto JKT má dvě buňky, jsou opět dvě možnosti. Tentokrát má rovnice [K — E) = u řešení pouze pro vlastní vektory s a + 6b = 0. Proto nemohou existovat dva lineárně nezávislé řetězce délky 2. Tedy musí být /l 1 0 0\ 0 110 ooio • \0 0 0 1/ Řetězec délky 3 hledejme pro vlastní vektor s a = 6, b = —l,ui = (2, 6, —3, 6)T. Řešení rovnice (N—E)x = uľ je x = (—1,1,1, 0)T+(—2/3, a, 3/3.a)T. Řešení rovnice (N—E)y = x existuje pro 3 + a + 6/3 = 0. Volíme tedy a = —3, (3 = 0. Dostáváme řetězec délky tři ui = (2, 6, —3, 6, )t, m2 = (—1, —2,1, —3)T, m3 = (—1,0,1, 0)T. K nim do báze doplníme v\ = (0,1, 0,1)T. Tyto vektory určují sloupce matice P. □ N = í4 3 2 6 9 4 -3 -4 -1 \ 9 9 6 Příklad. 5. Pomocí Jordánova kanonického tvaru najděte řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic x'{t) = Ax{t), x(0) = ^2 kde '2 -1 -ť A = | 0 2 -1 1 2 5 3 Návod. Matice A = PJP'1, kde /3 1 0\ / O -1 2 \ /O O ť J= O 3 1 , P = -1 1 -1 , P_1 = 1 2 2 \0 O 3/ \ 1 O O / \111 Řešení soustavy je (i t ŕ/2\ fŕ x(ť) = e3íP - I O 1 í P 1 ' 2 \ O O 1 \3, Další úlohy na procvičení □ Příklad. 1. [Kaďourek, Domácí úlohy ke cvičení 12, příklad 3] Najděte Jordánův kanonický tvar J matice C /6 -3 5 V5 2 2 5 3 0\ 1 2 37 Současně najděte regulární matici R takovou, že J algebraické násobnosti 4. R 1CR. Nápověda: Vlastní číslo 3 Příklad. 2. [Kaďourek, Domácí úlohy ke cvičení 12, příklad 2] Najděte Jordánův kanonický tvar J matice B /-3 4 2 0\ -4511 -4 4 3 0 \-A 4 2 1/ Současně najděte regulární matici Q takovou, že J = Q 1BQ. Nápověda: Vlastní číslo 3 algebraické násobnosti 1 a vlastní číslo 1 algebbraické násobnosti 3 . Příklad. 3. [Kaďourek, Domácí úlohy ke cvičení 12, příklad 4] Najděte Jordánův kanonický tvar J matice í- D 2 1 2 1 2 2 V1 Současně najděte regulární matici S takovou, že J algebraické násobnosti 4. 2\ 3 4 -v S^DS. Nápověda: Vlastní číslo -1 4 Příklad. 4. [Kaďourek, Domácí úlohy ke cvičení 12, příklad 5] Najděte Jordánův kanonický tvar J matice (0 1 0 l\ 0 2 1 1 4 -2 4 0 I"4 2 -2 2^ Současně najděte regulární matici T takovou, že J = T FT. Nápověda: Vlastní číslo 2 algebraické násobnosti 4. Příklad. 5. Najděte Jordánův kanonický tvar J matice /-13 5 4 2\ 0 -10 0 -30 12 9 5 • \-12 6 4 1/ Současně najděte regulární matici P takovou, že J = P~1LP.