MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 2015 IVANA BACHUROVÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Lineární algebra pro pokročilé Bakalářská práce Ivana Bachurová Vedoucí práce: doc. RNDr. Martin Čadek, CSc. Brno 2015 Bibliografický záznam Autor: Ivana Bachurová Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Název práce: Lineární algebra pro pokročilé Studijní program: Matematika Studijní obor: Finanční a pojistná matematika Vedoucí práce: doc. RNDr. Martin Čadek, CSc. Akademický rok: 2014/2015 Počet stran: ix + 41 Klíčová slova: Jordanova věta; Jordanův kanonický tvar; endomorfizmus; vlastní číslo; kořenový podprostor; polynom; T[x]-modul; λ-matice; kanonická matice Bibliografický záznam Autor: Ivana Bachurová Prírodovedecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a štatistiky Názov práce: Lineárna algebra pre pokročilých Študijný program: Matematika Študijný odbor: Finančná a poistná matematika Vedúci práce: doc. RNDr. Martin Čadek, CSc. Akademický rok: 2014/2015 Počet strán: ix + 41 Kľúčové slová: Jordanova veta; Jordanov kanonický tvar; endomorfizmus; vlastné číslo; koreňový podpriestor; polynóm; T[x]-modul; λ− matica; kanonická matica Bibliographic Entry Author: Ivana Bachurová Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Title of Thesis: Advanced linear algebra Degree Programme: Mathematics Field of Study: Financial and Insurance Mathematics Supervisor: doc. RNDr. Martin Čadek, CSc. Academic Year: 2014/2015 Number of Pages: ix + 41 Keywords: Jordan theorem; Jordan canonical form; endomorfism; eigenvector; root subspace; polynomial; T-modulus; λ-matrix; canonical matrix Abstrakt V této práci se věnujeme Jordanově větě a jejím dvěma různým důkazům. V první kapitole nejdříve vyslovíme Jordanovu větu pro endomorfismy a pro matice, a postupně se definováním potřebných pojmů a dokazováním pomocných vět propracujeme ke geometrickému důkazu Jordanovy věty, ve kterém jsou klíčové kořenové podprostory pro vlastní čísla. V druhé kapitole se zabýváme algebraickým důkazem, který se odkazuje na různé algebraické struktury využívající polynomy. Na závěr kapitoly uvedeme algoritmus pro nalezení Jordanova kanonického tvaru, který demonstrujeme na příkladě. Abstract This thesis deals with Jordan theorem and two of its different proofs. In the first part, Jordan theorem for endomorphisms and matrices is formulated. Then, by defining necessary terms and proving auxiliary theorems, we provide geometric proof of Jordan theorem, in which root subspaces are crucial. In the second part, we deal with algebraic proof, which refers to various algebraic structures where polynomials are applicable. Then, algorithm for finding Jordan canonical form is shown, which is subsequently demonstrated on an example. Poďakovanie Na tomto mieste by som chcela poďakovať doc. RNDr. Martinovi Čadkovi, CSc. za odbornú pomoc pri vypracovávaní mojej bakalárskej práce, jeho trpezlivosť, ochotu a množstvo času, ktoré venoval konzultáciam k mojej práci a za obohatenie mojich znalostí z lineárnej algebry a geometrie. Prohlášení Prohlašuji, že jsem moji bakalářskou práci vypracovala samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 27. května 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ivana Bachurová Obsah Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Formulácia Jordanovej vety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Koreňové podpriestory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Direktný súčet podpriestorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Definícia a vlastnosti kvocientu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Rozklad priestoru na direktný súčet koreňových podpriestorov . . . . . . . . . 9 1.6 Rozklad priestoru pomocou cyklických endomorfizmov . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Dôkaz Jordanovej vety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Kapitola 2. Algebraický dôkaz Jordanovej vety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1 Vety o polynómoch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Vektorový priestor s endomorfizmom ako T[x]-modul . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Definícia a vlastnosti λ-matíc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Dôkaz Jordanovej vety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5 Algoritmus hľadania Jordanovho kanonického tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Zoznam použitej literatúry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 – viii – Úvod Podobnosť matíc a Jordanova veta o kanonickom tvare patria do základu kurzu lineárnej algebry a geometrie. Študenti matematiky sa tak na začiatku svojho štúdia naučia nielen znenie tejto vety, ale aj jeden z algoritmov hľadania Jordanovho kanonického tvaru. Podrobný dôkaz existencie Jordanovho kanonického tvaru a jeho jednoznačnosti je už náročnejšou témou, na ktorú kvôli jej rozsiahlosti v prednáškach často neostáva čas. V tejto práci sa preto budeme detailne venovať práve dvom rôznym dôkazom Jordanovej vety. Prvý bude využívať skôr geometrické pojmy, budeme sa pohybovať vo vektorových priestoroch a podpriestoroch, kde využijeme znalosti o invariantných podpriestoroch, či reťazcoch vektorov, ktoré sa daným endomorfizmom zobrazujú do seba. Tento prístup ponúka pomerne jednoduchý návod na nájdenie Jordanovho kanonického tvaru pomocou vlastných vektorov a na nich nadväzujúcich reťazcov v jednotlivých koreňových podpriestorov, ktorý je súčasťou kurzu Lineárni algebra a geometrie II na Masarykovej univerzite. Tento spôsob sa však značne komplikuje pri vyšších dimenziách. V druhej kapitole si ukážeme algebraický dôkaz Jordanovej vety, ako aj všeobecne užitočnejší algoritmus pre nájdenie Jordanovho kanonického tvaru, ktorý používa modifikáciu Gaussovej eliminačnej metódy pre matice s polynómami. V literatúre sa častokrát stretávame s rozpracovaním len jednej verzie dôkazu a z neho vyplývajúceho algoritmu. Ako sme už vyššie spomenuli, podrobný dôkaz Jordanovej vety je rozsiahly a časovo náročný, pretože využíva veľké množstvo rôznych pojmov z lineárnej algebry a geometrie. Preto aj v nami používanej literatúre sú niektoré časti iba naznačené. V našej práci sme však súvisiace podrobnosti doplnili. V niektorých úsekoch budú postupy týchto dvoch typov dokazovania rovnaké, všeobecne však využívajú rozličné matematické inštrumenty. Určite je však zaujímavé porovnať tieto zhody a rozdiely, čo bežne učebnice venujúce sa lineárnej algebre a geometrii z vyššie spomenutého dôvodu neponúkajú. – ix – Kapitola 1 Geometrický dôkaz Jordanovej vety V tejto kapitole si na začiatku pripomenieme základné pojmy súvisiace s témou Jordanovho kanonického tvaru, ktoré poznáme z kurzu lineárnej algebry a geometrie. Prejdeme k formulácii Jordanovej vety a po nej sa budeme zaoberať geometrickým dôkazom, využívajúcom rôzne vlastnosti niektorých typov endomorfizmov. Táto časť čerpá najmä z 5. kapitoly textu Jana Slováka Lineární algebra [4], ale v úvodnej časti si pomôžeme aj 18. a 19. kapitolou knihy Pavla Zlatoša Lineárna algebra a geometria [6]. 1.1 Formulácia Jordanovej vety Na úvod upresnime, že sa budeme pohybovať vo vektorových priestoroch U nad telesom T. Lineárne zobrazenie priestoru U do seba samého sa nazýva endomorfizmus. Symbolicky zapisujeme ako ϕ : U → U. Matica endomorfizmu v danej báze α = (u1,u2,...,un) je matica tvaru n × n, kde i−ty stĺpec tvoria súradnice zobrazeného i−teho vektoru bázy α opäť v tejto báze, matematicky zapísané ako (ϕ)α,α = (ϕ(u1))α,(ϕ(u2))α,...,(ϕ(un))α . Veľmi dôležitou súčasťou témy Jordanovho kanonického tvaru, budeme tiež používať skratku JKT, sú vlastné čísla, prípadne označované aj ako vlastné alebo charakteristické hodnoty. Vlastné číslo endomorfizmu ϕ je skalár λ, pre ktorý platí, že vo vektorovom priestore U existuje nenulový vektor u taký, že ϕ(u) = λu. Tento vektor nazývame vlastný vektor endomorfizmu ϕ prislúchajúci vlastnej hodnote λ. Množinu všetkých vlastných čísel endomorfizmu ϕ označujeme pojmom spektrum endomorfizmu. Vlastný podpriestor príslušný vlastnému číslu λ je podpriestor v U definovaný ako jadro endomorfizmu ϕ −λid. Determinant matice A−λE, kde matica A je maticou endomorfizmu ϕ v nejakej báze, definujeme ako charakterictický polynóm endomorfizmu ϕ. Maticu A−λE označujeme pojmom charakteristická matica matice A. Charakterický polynóm je určený jednoznačne, čiže nezávisí od výberu bázy a množina jeho koreňov je rovná spektru endomorfizmu ϕ. Násobnosť koreňa λ charakterického polynómu označujeme pojmom algebraická násobnosť vlastného čísla λ. Dimenziu jadra endomorfizmu – 1 – Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 2 ϕ − λid definujeme zas ako geometrickú násobnosť. Pripomeňme tiež pojem podobnosti matíc. Dve matice A a B nazveme podobnými, ak existuje invertibilná matica P taká, že platí A = P−1 B P. Nech α a β sú dve rôzne bázy priestoruU. Potom matica endomorfizmu A = (ϕ)α,α bude podobná matici B = (ϕ)β,β , kde P = (id)β,α je maticou prechodu. Definícia 1.1. Maticu Jk(λ) v tvare Jk(λ) =        λ 1 0 ... 0 0 λ 1 ... 0 0 0 λ ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... λ        nazývame Jordanova bunka rádu k príslušná vlastnému číslu λ. O matici J hovoríme, že je v Jordanovom kanonickom tvare, pokiaľ je blokovo diagonálna s Jordanovymi bunkami na diagonále. Veta 1.2 (Jordanova veta pre endomorfizmy). Nech endomorfizmus ϕ : U → U má súčet algebraických násobností vlastných čísel rovný dimenzii U. Potom existuje taká báza α priestoru U, v ktorej bude mať endomorfizmus ϕ maticu v Jordanovom kanonickom tvare. Táto matica je až na poradie buniek určená jednoznačne. Veta 1.3 (Jordanova veta pre matice). Nech charakteristický polynóm matice A tvaru n×n má vrátane násobností n koreňov. Potom existuje invertibilná matica P taká, že matica J = P−1AP je v Jordanovom kanonickom tvare. Táto matica je až na poradie buniek určená jednoznačne. Tieto dve vyjadrenia Jordanovej vety sú ekvivalentné. Dôkaz. Ekvivalenciu medzi vlastnými číslami endomorfizmu a koreňmi charakteristického polynómu sme spomenuli v úvode tejto podkapitoly. Podrobný dôkaz možno nájsť pri vete 18.3.1. v [6]. Jordanova veta pre endomorfizmy implikuje Jordanovu vetu pre matice: Nech A je matica n × n taká, že súčet algebraických násobností koreňov charakteristického polynómu je n. Uvažujme ϕ : Tn → Tn definované v štandardnej báze ε predpisom ϕ(x) = Ax. Teda (ϕ)ε,ε = A. Podľa Jordanovej vety pre endomorfizmy existuje báza α taká, že (ϕ)α,α = J je matica v JKT. Teda (ϕ)α,α = (id)α,ε(ϕ)ε,ε(id)ε,α a preto J = P−1 AP. Vidíme, že A je podobná matici J v Jordanovom kanonickom tvare. Jordanova veta pre matice implikuje Jordanovu vetu pre endomorfizmy: Majme ϕ :U →U a vezmime nejakú jeho bázu β = (u1,u2,...,un). Potom (ϕ)β,β = A je matica, ktorá splňuje predpoklady Jordanovej vety pre matice. Teda existuje matica J v JKT taká, že J = P−1 AP. Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 3 Uvážme bázu α = (v1,v2,...,vn) = (u1,u2,...,un)P. V tejto báze je (ϕ)α,α = (id)α,β (ϕ)β,β (id)β,α = P−1 (ϕ)β,β P = P−1 AP = J. 1.2 Koreňové podpriestory V tejto časti si zadefinujeme pojem koreňových podpriestorov. Tieto podpriestory sú rozšírením vlastných podpriestorov a viažu sa vždy k jednému vlastnému číslu. Ešte pripomeňme pojem invariantného podpriestoru endomorfizmu ϕ : U → U, ktorý označuje podpriestor v U, ktorý sa prostredníctvom ϕ zobrazuje sám do seba. Definícia 1.4. Majme vektorový priestor U a na ňom endomorfizmus ϕ: U → U. Nech λ je vlastným číslom endomorfizmu ϕ. Potom podpriestor Rλ = {u ∈ U; ∃j ∈ N : (ϕ −λid)j (u) = 0} nazveme koreňovým podpriestorom vlasného čísla λ. Nech Rλ má bázu (u1,u2,...,uk), kde us ∈ Ker(ϕ −λid)js. Označme m = = max(j1, j2,..., jk). Potom R = ∞ j=1 Ker(ϕ −λid)j = m j=1 Ker(ϕ −λid)j = Ker(ϕ −λid)m , pretože každé u ∈ Rλ je tvaru u = ∑k s=1 asus a preto (ϕ −λid)m (u) = (ϕ −λid)m ( k ∑ s=1 asus) = k ∑ s=1 as(ϕ −λid)m (us) = 0. Lema 1.5. Majme endomorfizmy ϕ a ψ. Nech platí ϕ ◦ψ = ψ ◦ϕ, potom Ker ϕ je invariantný podpriestor pre endomorfizmus ψ. Dôkaz. Nech v ∈ Ker ϕ, potom ϕ(ψ(v)) = ψ(ϕ(v)) = ψ(0) = 0 a teda ψ(v) ∈ Ker ϕ. Predchádzajúcu lemu aplikujeme na endomorfizmy (ϕ −λid) a (ϕ − µid), kde µ ∈ T. Tým dokážeme, že lema platí aj pre dvojicu endomorfizmov (ϕ −λid)m a (ϕ − µid). (ϕ −λid)◦(ϕ − µid) = (ϕ ◦ϕ −λid◦ϕ −ϕ ◦ µid+λid◦ µid) = (ϕ ◦ϕ −ϕ ◦λid− µid◦ϕ + µid◦λid) = (ϕ − µid)◦(ϕ −λid) Vidíme, že Rλ je invariantný pre endomorfizmus (ϕ − µid) a teda aj pre endomorfizmus ϕ. Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 4 1.3 Direktný súčet podpriestorov Pripomenieme si pojem direktného súčtu podpriestorov a niektoré jeho vlastnosti. Definícia 1.6. Súčet podpriestorov U1,U2,...,Uk ⊆ U je podprietor U1 +U2 +...+Uk = {u1 +u2 +...uk ∈ U, kde ui ∈ Ui}. Definícia 1.7. Súčet podpriestorov U1,U2,...,Uk ⊆ U je direktným súčtom, ak pre každé u ∈ U1 +U2 +...+Uk existuje práve jedna k-tica (u1,u2,...,uk) ∈ U1 ×U2 ×...×Uk tak, že u = u1 +u2 +...+uk. Direktný súčet značíme nasledovne U1 ⊕U2 ⊕...⊕Uk. Lema 1.8. Súčet podpriestorov U1 +U2 +...+Uk je direktný, práve keď pre všetky k-tice u1,u2,...,uk ∈ U1 ×U2 ×...×Uk rovnosť u1 +u2 +...+uk = 0 implikuje u1 = u2 = ... = uk = 0. Dôkaz. Nech U1 +U2 + ... +Uk je direktný a nech u1 + u2 + ... + uk = 0. Pretože 0 ∈ U1 +U2 +...+Uk a môžme ju rozpísať ako 0+0+...+0 = 0, tak z jednoznačnosti plynie u1 = 0,u2 = 0,...,uk = 0. Ostáva dokázať opačnú implikáciu. Nech u = u1 +u2 +...+uk ui ∈ Ui u = v1 +v2 +...+vk vi ∈ Ui. Potom odčítaním dostaneme (u1 −v1)+(u2 −v2)+...+(uk −vk) = 0. Odtiaľ u1 −v1 = u2 −v2 = ... = uk −vk = 0, a preto u1 = v1,u2 = v2,...,uk = vk. Z toho plynie jednoznačnosť definujúca direktný súčet. Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 5 Lema 1.9. NechU1,U2 ...,Un sú podpriestory vU. Nasledujúce podmienky sú ekvivalentné 1. súčet podpriestorov U1,U2 ...,Un je direktný 2. Ui ∩(U1 +...+Ui−1 +Ui+1 +...+Un) = 0 pre 1 ≤ i ≤ n. Dôkaz. (1) implikuje (2) dokážeme obmenou implikácie. Uvažujme nenulový vektor u ∈ Ui ∩ (U1 + ... +Ui−1 +Ui+1 + ... +Un), kde 1 ≤ i ≤ n. Potom môžme u napísať dvoma spôsobmi ako u = ui u = u1 +...+ui−1 +ui+1 +...+uk, pre nejaké u1 ∈ U1,u2 ∈ U2,...,un ∈ Un. Odtiaľ odčítaním dostávame u1 +...+ui−1 −ui +ui+1 +...+un = 0, a teda podľa predchádzajúcej lemy 1.8 u1 = ... = ui−1 = −ui = ui+1 = ... = un = 0. To je ale spor s predpokladom, že u = 0. (2) implikuje (1) dokážeme takisto obmenou implikácie. Ak súčet nie je direktný, tak podľa lemy 1.8 môžme vektor 0 napísať ako 0 = u1 +u2 +...+un pre nejaké ui = 0. Potom −ui = u1 +u2 +...+ui−1 +ui+1 +...+un. Z tejto rovnice vidíme, že nenulový vektor −ui leží aj v Ui, aj v súčte podpriestorov U1 + ... +Ui−1 +Ui+1 + ... +Un, čiže sme dokázali, že keď neplatí tvrdenie (1), neplatí ani tvrdenie (2). 1.4 Definícia a vlastnosti kvocientu V tejto podkapitole si najskôr definujeme pojem kvocient a odvodíme niektoré jeho vlastnosti, ktoré budú pre nás dôležité. Prejdeme k definíciam polorozpadnutej a rozpadnutej matice, a ukážeme súvislosti medzi kvocientom s invariantným podpriestoromV a maticou endomorfizmu ϕ v polorozpadnutom stave. Všimnime si, že tieto poznatky nás postupne približujú k blokovo diagonálnemu tvaru matice endomorfizmu, čo je jedným z našich cieľov. Definícia 1.10. Nech V je vektorový podpriestor v U. Pre u ∈ U definujeme množinu u+V = {(u+v) ∈ U,v ∈ V}. Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 6 Lema 1.11. Nech u1,u2 ∈ U. Potom rovnosť u1 +V = u2 +V platí práve vtedy, keď u1 −u2 ∈ V. Dôkaz. Rovnosť u1 +V = u2 +V znamená, že pre každé v1 ∈ V existuje v2 ∈ V také, že u1 +v1 = u2 +v2. Odtiaľ u1 −u2 = v2 −v1 ∈ V. Naopak pokiaľ u1 −u2 ∈ V, potom pre každé v ∈ V je u1 +v = u2 +(u1 −u2 +v), kde u1 −u2 +v ∈ V a odtiaľ vidíme, že u1 +V ⊆ u2 +V. Analogicky dokážeme u2 +V ⊆ u1 +V. Definícia 1.12. Kvocient U/V = {u+V,u ∈ U} s operáciami sčítania (u1 +V)+(u2 +V) = (u1 +u2)+V a násobenia c(u+V) = (cu)+V je vektorový priestor. Najprv ukážeme, že definícia súčtu a násobku je korektná. Chceme dokázať, že keď u1 +V = u1 +V u2 +V = u2 +V, potom (u1 +u2)+V = (u1 +u2)+V cu1 +V = cu1 +V. V prvom prípade nastane rovnosť podľa lemy 1.11 práve vtedy, keď (u1 +u2)−(u1 +u2) ∈ V. (u1 +u2)−(u1 +u2) = (u1 −u1)+(u2 −u2), kde u1 −u1 ∈ V a u2 −u2 ∈ V, čo vyplýva z predpokladu a teda aj ich súčet leží vo V. V druhej rovnici rovnako použijeme lemu 1.11, podľa ktorej rovnosť platí, ak cu1 −cu1 ∈V. cu1 −cu1 = c(u1 −u1), kde u1 −u1 ∈ V podľa predpokladu, čiže aj c(u1 −u1) ∈ V. Vlastnosti sčítania a násobenia na U/V plynú z vlastností sčítania a násobenia na U. Definícia je korektná. (U/V,+,·) je vektorový priestor. Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 7 Definícia 1.13. Maticu tvaru A 0 0 B , kde A a B sú nejaké nenulové matice nazveme rozpadnutou maticou. Maticu tvaru A C 0 B , kde A, B a C sú nejaké nenulové matice nazveme polorozpadnutou maticou. Veta 1.14. Majme priestor U a endomorfizmus ϕ : U → U. Nech U je direktným súčtom dvoch invariantných podpriestorov: U = U1 ⊕U2. Potom existuje v U báza α = (u1,u2,...,un), v ktorej je matica endomorfizmu ϕ rozpadnutá. Dôkaz. Nech α = (u1,u2,...,uk) je bázou invariantného podpriestoru U1 a α = (uk+1,uk+2,...,un) je bázou invariantného podpriestoru U2. Maticu endomorfizmu ϕ v báze α = (u1,...,uk,uk+1,...,un) píšme v tvare (ϕ)α,α = A C D B , kde A je tvaru k × k, C je tvaru k × (n − k), D je tvaru (n − k) × k a nakoniec B je tvaru (n−k)×(n−k). Vektory z bázy α zobrazíme takto: ϕ(ui) = a1iu1 +a2iu2 +...+akiuk +dk+1iuk+1 +...+dniun pre 1 ≤ i ≤ k. Keďže vieme, že podpriestor U1 je invariantný, tak koeficienty i−teho stĺpca matice D budú nulové pre všetky i. Rovnako postupujeme aj pre bázové vektory invariantného podpriestoru U2, kde vo vzťahu ϕ(ui) = c1iu1 +c2iu2 +...+ckiuk +bk+1iuk+1 +...+bniun pre k+1 ≤ i ≤ n budú koeficienty matice C nulové, keďže stoja pri vektoroch, ktoré neležia v U2. Veta 1.15. Nech ϕ : U → U je endomorfizmus a V ⊂ U invariantný podpriestor. Predpokladajme, že báza α = (u1,u2,...,un) priestoru U vznikla rozšírením bázy (u1,u2,...,uk) podpriestoru V. Definujme endomorfizmus ϕ : U/V → U/V nasledovným spôsobom ϕ(u+V) = ϕ(u)+V. Potom (ϕ)α,α = A C 0 B . Navyše platí, že α = (uk+1 +V,...,un +V) je bázou U/V a (ϕ)α,α = B. Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 8 Dôkaz. Najprv overíme korektnosť definície endomorfizmu ϕ(u +V) = ϕ(u) +V. Nech u+V = u+V. Potom u−u ∈ V. Z invariantnosti podpriestoru V plynie, že ϕ(u)−ϕ(u) = ϕ(u−u) ∈ V a teda ϕ(u)+V = ϕ(u)+V. Tvrdenie o polorozpadnutom tvare matice (ϕ)α,α sa dokáže podobne ako predchádzajúca veta 1.14. Keďže podpriestor V dimenzie k je invariantný, tak sa prvých k vektorov bázy α zobrazí opäť do podpriestoru V. To vysvetluje nulovú maticu tvaru (n−k)×k pod maticou A, pričom matica A je maticou endomorfizmu z V → V. Ďalej dokážeme tvrdenie o báze vektorového podpriestoru U/V. Vektor u ∈ U môžme rozpísať ako lineárnu kombináciu vektorov bázy U : u = n ∑ i=1 aiui. Potom môžme rozpísať aj vektor u+V ∈ U/V: u+V = n ∑ i=1 aiui +V = k ∑ i=1 aiui + n ∑ i=k+1 aiui +V = n ∑ i=k+1 aiui +V = n ∑ i=k+1 ai(ui +V) podľa lemy 1.11. Vidíme, že prvky uk+1 +V,uk+2 +V,...,un +V generujú podpriestor U/V. Ostáva dokázať, že všetky tieto prvky sú lineárne nezávislé v U/V. Nech n ∑ i=k+1 ai(ui +V) = 0+V. Potom n ∑ i=k+1 aiui +V = 0+V, n ∑ i=k+1 aiui −0 ∈ V, n ∑ i=k+1 aiui = k ∑ i=1 aiui pre nejaké a1,a2,...,ak ∈ K a teda −a1u1 −a2u2 +...−akuk +ak+1uk+1 +...+anun = 0. Vieme, že u1,...,un sú lineárne nezávislé a preto a1 = ... = ak = ak+1 = ... = an = 0. Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 9 Posledné tvrdenie, ktoré treba dokázať, je o tvare matice endomorfizmu (ϕ)α,α. Už sme ukázali, že matica (ϕ)α,α má tvar A C 0 B . Matice C a B si pre lepšiu predstavu rozpíšeme. C =      c11 c12 ... c1n−k c21 c22 ... c2n−k ... ... ... ... ck1 ck2 ... ckn−k      B =      b11 b12 ... b1n−k b21 b22 ... b2n−k ... ... ... ... bn−k1 bn−k2 ... bn−kn−k      Maticu (ϕ)α,α spočítame podľa definície. Pre 1 ≤ i ≤ n−k je ϕ(uk+i +V) = ϕ(uk+i)+V = c1iu1 +...+ckiuk +b1iuk+1 +...+bn−kiun +V = b1i(uk+1 +V)+...+bn−ki(un +V). Koeficienty z matice C prispievajú len do podpriestoru V a preto matica endomorfizmu v indukovanej báze α zodpovedá matici B. Lema 1.16. Nech U je vektorový priestor s bázou (u1,u2,...,un), ktorá je rozšírením bázy (u1,u2,...,uk) podpriestoru V. Potom dimU/V = dimU −dimV. Dôkaz. Nech dimU = n a dimV = k. Podľa vety 1.15 má podpriestor U/V bázu α = (uk+1 +V,uk+2 +V,...,un +V) a rovno vidíme, že túto bázu tvorí n−k prvkov. 1.5 Rozklad priestoru na direktný súčet koreňových pod- priestorov Predchádzajúce podkapitoly sa venovali niektorým všeobecným nástrojom lineárnej algebry a geometrie. V nasledujúcej časti ich konečne využijeme a ukážeme prvý dôležitý krok k dôkazu Jordanovej vety. Doteraz nadobudnuté znalosti nám umožnia rozložiť vektorový priestor U na direktný súčet koreňových podpriestorov, o ktorých vieme, že sú invariantné vzhľadom k endomorfizmu ϕ, čo v praxi znamená, že existuje báza tohto priestoru, v ktorej nadobudne matica endomorfizmu ϕ blokovo diagonálny tvar, pričom jednotlivé bloky budú určené vlastnými číslami a ich algebraickou násobnosťou. To nám však požadovaný Jordanov kanonický tvar neprinesie a preto spôsob hľadania tejto bázy podriadime ešte podrobnejšiemu rozkladu jednotlivých koreňových podpriestorov, čomu sa ale bude venovať ďalšia časť tejto práce. Veta 1.17. Majme endomorfizmus ϕ : U → U taký, že súčet algebraických násobností jeho vlastných čísel je dimU = n. Potom v U existuje báza α, pre ktorú platí, že (ϕ)α,α =        λ1 ∗ ∗ ... ∗ 0 λi2 ∗ ... ∗ 0 0 λi3 ... ∗ ... ... ... ... ... 0 0 0 ··· λk        Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 10 Dôkaz. Dôkaz urobíme indukciou podľa dimU = n. Pre dimU = 1 veta zjavne platí. Nech platí pre dimU = n−1. Vektor u1 nech je vlastným vektorom k vlastnému číslu λ1 a nech α = (u1,u2,...,un) je báza priestoru U. Položme V = [u1]. Potom ako sme dokázali vo vete 1.15 je α = (u2 +V,u3 +V,...,un +V) bázou priestoru U/V. Endomorfizmus ϕ : U/V →U/V, kdeV ⊂U je invariantný podpriestor vzhľadom k endomorfizmu ϕ :U →U sme si definovali v predchádzajúcej časti nasledovným spôsobom ϕ(u+V) = ϕ(u)+V. Charakteristický polynóm ϕ : U → U je det((ϕ)α,α −λE) = (λ1 −λ)j1 ·(λ2 −λ)j2 ·...·(λk −λ)js , kde j1 +...+ js = n. Matica endomorfizmu v báze α má podľa vety 1.15 tvar (ϕ)α,α =          λ1 a12 ... a1n 0 a22 a2n ... ... ... ... 0 an2 ... ann          pritom matica endomorfizmu (ϕ)α,α : U/V → U/V je (ϕ)α,α =        a22 ... a2n ... ... ... an2 ... ann        . Charakteristický polynóm matice endomorfizmu (ϕ)α,α môžme rozpísať ako det (ϕ)α,α −λEn = (λ1 −λ)det (ϕα,α)−λEn−1 = (λ1 −λ)j1 ·...·(λk −λ)js = (λ1 −λ)(λ1 −λ)j1−1 ·...·(λk −λ)js , kde j1 + ... + js = n. Vidíme, že j1 − 1 + ... + js = n − 1 a teda endomorfizmus ϕ : U/V → U/V, kde dimU/V = n − 1, splňuje predpoklady vety a teda podľa indukčného predpokladu existuje báza β v U/V taká, že (ϕ)β,β =        λi2 ∗ ··· ∗ 0 λi3 ∗ ... ... ... 0 ··· λk        Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 11 β = (v2 +V,v3 +V,...,vn +V). Vezmeme bázu β = (u1,v2,...,vn) a v nej maticu endomorfizmu (ϕ)β,β =         λ1 ∗ (ϕβ,β )         =        λ1 ∗ ∗ ··· ∗ 0 λi2 ∗ ∗ 0 0 λi3 ∗ ... ... ... 0 ··· λk        . Veta 1.18. Majme vektorový priestor U a endomorfizmus ϕ : U → U. Nech súčet algebraických násobností jeho vlastných čísel je dimU = n. Potom platí U = Rλ1 ⊕Rλ2 ⊕...⊕Rλk , kde λ1,...,λk sú všetky vlastné čísla. Navyše pre všetky vlastné čísla platí, že vektorový podpriestor Rλ má dimenziu rovnú algebraickej násobnosti príslušného vlastného čísla. Dôkaz. Dôkaz urobíme postupne. Najprv indukciou podľa počtu sčítancov dokážeme, že súčet je direktný. Predpokladajme, že veta platí pre k−1 sčítancov. Majme vektory ui ∈ Rλi také, že u1 +u2 +...+uk = 0. Zvoľme m také, že (ϕ −λkid)m (uk) = 0 a položme yi = (ϕ −λkid)m (ui) pre 1 ≤ i ≤ k. Pre yk platí, že yk = (ϕ −λkid)m (uk) = 0. Preto k−1 ∑ i=1 yi = k ∑ i=1 (ϕ −λkid)m (ui) = (ϕ −λkid)m k ∑ i=1 ui = 0. Podľa lemy 1.5 ležia vektory yi pre 1 ≤ i ≤ k −1 opäť v príslušných koreňových podpriestoroch a teda podľa indukčného predpokladu a lemy 1.8 y1 = y2 = ... = yk−1 = 0. Dokážeme, že endomorfizmus ϕ −λkid : Rλi → Rλi je izomorfizmus pre i = 1,2,...,k−1. Potom je izomorfizmom aj endomorfizmus (ϕ −λkid)m : Rλi → Rλi . Preto bude u1 = u2 = ... = uk−1 = 0 a teda aj uk = 0 a dôkaz bude hotový. Nech u ∈ Rλi \{0} a nech (ϕ −λkid)(u) = 0. Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 12 Odtiaľ dostávame rovnosť ϕ(u) = λku. Nech p je také číslo, že (ϕ −λiid)p(u) = 0, ale (ϕ −λiid)p−1(u) = 0. Počítajme (ϕ −λiid)p (u) = (ϕ −λiid)p−1 (ϕ −λiid)(u) = (ϕ −λiid)p−1 (ϕ(u)−λiu) = (ϕ −λiid)p−1 (λku−λiu) = (λk −λi)(ϕ −λiid)p−1 (u) = 0, lebo λk − λi = 0 a tiež (ϕ − λiid)p−1(u) = 0, čo je ale spor s predpokladom. Preto musí platiť u = 0, čo sme potrebovali dokázať. Ostáva dokázať, že U = Rλ1 ⊕Rλ2 ⊕...⊕Rλk . Vieme určite, že Rλ1 ⊕Rλ2 ⊕...⊕Rλk ⊆ U. Pretože súčet Rλ1 ⊕Rλ2 ⊕...⊕Rλk je direktný, tak z lemy 1.9 a vety o dimenzii prieniku a súčtu platí: dim(Rλ1 ⊕Rλ2 ⊕...⊕Rλk ) = dimRλ1 +dimRλ2 +...+dimRλk . K rovnosti Rλ1 ⊕Rλ2 ⊕...⊕Rλk = U nám stačí dokázať, že dimRλ1 +dimRλ2 +...+dimRλk = dimU. Podľa vety 1.15 existuje v U báza α = (u1,u2,...,un) taká, že (ϕ)α,α =                  λ1 a12 a13 ... a1n 0 λ1 a23 ... a2n ... ... 0 λ1 ∗ ... 0 λ2 ... ... ... 0 λk ... ... ann−1 0 ... 0 λk                  a λi sa vyskytuje v tejto matici práve ji−krát, čo je jeho algebraická násobnosť. Potrebujeme dokázať, že dimRλ1 ≥ j1. Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 13 Pokiaľ dokážeme, že prvých j1 vektorov bázy α leží v koreňovom podpriestore vlastného čísla λ1, dôkaz bude hotový. Bázové vektory sú totiž lineárne nezávislé, čiže ak u1,u2,...,uj1 ležia v Rλ1 , tak dimRλ1 ≥ j1. Pretože (ϕ −λ1id)α,α =             0 a12 a13 ... a1n 0 0 a23 ... a2n ... ∗ ... 0 ... λ2 −λ1 ... 0 ... λk −λ1             , je (ϕ −λ1id)(u1) = 0. Preto u1 ∈ Rλ1 . Pre u2 dostávame (ϕ −λ1id)2 (u2) = (ϕ −λ1id)(ϕ −λ1id)(u2) = (ϕ −λ1id)(a12u1) = 0 Teda u2 ∈ Rλ1 . Analogicky dokážeme, že u3,u4,...,uj1 ∈ Rλ1 . 1.6 Rozklad priestoru pomocou cyklických endomorfiz- mov Táto časť sa venuje rozkladu nejakého vektorového priestoru W, na ktorom máme definovaný nilpotentný endomorfizmus ψ : W → W. Najskôr riadne zadefinujeme pojmy cyklického a nilpotentného endomorfizmu. Všimnime si, že endomorfizmus ϕ − λid zúžený na koreňový podpriestor Rλ je nilpotentný, čiže pod endomorfizmom ψ : W → W si môžme predstaviť endomorfizmus ϕ −λid : Rλ → Rλ . Túto konkretizáciu však využijeme až v ďalšej kapitole a teraz sa uspokojíme so všeobecnejším vyjadrením. Definícia 1.19. Endomorfizmus ϕ : U → U sa nazýva nilpotentný, ak existuje k ∈ N také, že ϕk = 0. Najmenšie k s touto vlastnosťou nazývame stupeň nilpotentnosti. Definícia 1.20. Endomorfizmus ϕ : U → U sa nazýva cyklický, ak v U existuje báza α = (u1,u2,...,un) taká, že ϕ(u1) = 0, ϕ(u2) = u1, ... , ϕ(un) = un−1. Matica endomorfizmu v tejto báze má tvar (ϕ)α,α =        0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 0        Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 14 Veta 1.21. Majme endomorfizmus ψ : W → W, ktorý je nilpotentný. Potom W je direktným súčtom invariantných podpriestorov W = V1 ⊕V2 ⊕...⊕Vp takých, že ψ|Vj : Vj → Vj sú cyklické endomorfizmy. Dôkaz. Nech k je stupeň nilpotentnosti endomorfizmu ψ. Teda ψk = 0. {0} = Im ψk ⊆ Im ψk−1 ⊆ Im ψk−2 ⊆ ... ⊆ Im ψ ⊆ Im ψ0 = Im id = W. Dokážeme, že pri inklúziach nenastane nikdy rovnosť. Keby Im ψi = Im ψi−1 = {0}, potom ψ(Im ψi ) = ψ(Im ψi−1 ) Im ψi+1 = Im ψi . Odtiaľ vidíme, že {0} = Im ψk = Im ψk−1 = ... = Im ψi = Im ψi−1 = {0}, čo je ale spor. Preto bude platiť, že obrazy jednotlivých iterácii endomorfizmu ψ sú vlastnými podmnožinami iterácii nižšieho rádu {0} = Im ψk ⊂ Im ψk−1 ⊂ Im ψk−2 ⊂ ... ⊂ Im ψ ⊂ Im ψ0 = W. Pre jednoduchosť označíme Im ψi ako Wi. Čiže {0} = Wk ⊂ Wk−1 ⊂ Wk−2 ⊂ ... ⊂ W2 ⊂ W1 ⊂ W0 = W. Postupne skonštruujeme bázu priestoru W podľa jednotlivých podpriestorov Wk−1,Wk−2,...,W1. Nech (uk−1 1 ,uk−1 2 ,...,uk−1 i1 ) je báza Wk−1 = ψ(Wk−2), ktorej vektory sa zobrazujú do nuly. Urobíme schému, kde šípky symbolizujú aplikáciu endomorfizmu ψ. 0 0 0 ↑ ↑ ↑ uk−1 1 uk−1 2 ... uk−1 i1 ↑ ↑ ↑ uk−2 1 uk−2 2 ... uk−2 i1 Vektory uk−2 1 ,uk−2 2 ,...,uk−2 i1 ∈Wk−2 sa zobrazia do vyššie uvedených vektorov bázy Wk−1. Dokážeme, že uk−1 1 ,uk−1 2 ,...,uk−1 i1 ,uk−2 1 ,uk−2 2 ,...,uk−2 i1 sú lineárne nezávislé a teda môžu byť súčasťou bázy Wk−2, ktorú hľadáme. Na rovnosť a1uk−1 1 +a2uk−1 2 +...+ai1uk−1 i1 +b1uk−2 1 +b2uk−2 2 +...+bi1uk−2 i1 = 0 Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 15 aplikujeme endomorfizmus ψ a dostávame b1uk−1 1 +b2uk−1 2 +...+bi1uk−1 i1 = 0. To sú však bázové vektory podpriestoru Wk−1, čo znamená, že b1 = b2 = ... = bi1 = 0. Dosadením do pôvodnej rovnice dostávame opäť len kombináciu vektorov bázy Wk−1 s koeficientami a1,a2,...,ai1, ktoré sa preto nutne musia rovnať nule a tým sme dokázali lineárnu nezávislosť všetkých 2i1 vektorov. Ostáva doplniť bázu Wk−2 vhodnými vektormi. Najprv nájdeme nejaké všeobecné vektory uk−2 i1+1,uk−2 i1+2,...,uk−2 i2 , ktorými doplníme bázu a tie potom upravíme tak, aby sa zobrazovali do nuly. Vieme, že pre všetky i1 +1 ≤ j ≤ i2 sa vektor uk−2 j zobrazí do Wk−1 a teda sa dá napísať ako lineárna kombinácia jeho bázových vektorov, teda že ψ uk−2 j = i1 ∑ r=1 cjruk−1 r . Preto odčítaním lineárnej kombinácie vektorov uk−2 1 ,uk−2 2 ,...,uk−2 i1 so získanými koeficientami cj1,cj2,...,cji1 od vektoru uk−2 j získame hľadaný vektor bázy Wk−2, ktorý endomorfizmus ψ zobrazí do nuly. uk−2 j = uk−2 j − i1 ∑ r=1 cjruk−2 r ψ uk−2 j = ψ uk−2 j −ψ i1 ∑ r=1 cjruk−2 r = i1 ∑ r=1 cjruk−1 r − i1 ∑ r=1 cjruk−1 r = 0 Schéma hľadanej bázy Wk−2 bude vyzerať nasledovne 0 0 0 ↑ ↑ ↑ uk−1 1 uk−1 2 ... uk−1 i1 0 0 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ uk−2 1 uk−2 2 ... uk−2 i1 uk−2 i1+1 ... uk−2 i2 Overíme, že vektory uk−1 1 ,...,uk−1 i1 ,uk−2 1 ,...,uk−2 i2 sú lineárne nezávislé. Rovnosť i1 ∑ j=1 ajuk−1 j + i1 ∑ j=1 bjuk−2 j + i2 ∑ j=i1 djuk−2 j = 0 môžme napísať ako i1 ∑ j=1 ajuk−1 j + i1 ∑ j=1 bjuk−2 j + i2 ∑ j=i1+1 djuk−2 j − i2 ∑ j=i1 i1 ∑ r=1 djcjruk−2 r = 0. To sú ale vektory pôvodnej bázy Wk−2 s koeficientami aj pre vektory uk−1 j kde 1 ≤ j ≤ i1 bj − i2 ∑ j=i1+1 djcr pre vektory uk−2 r kde 1 ≤ r ≤ i1 dj pre vektory uk−2 j kde i1 +1 ≤ j ≤ i2 Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 16 Z toho vyplýva, že všetky koeficienty aj,bj aj dj sú nutne nulové a lineárna nezávislosť je dokázaná. Rovnakým spôsobom určíme bázu Wk−3. Bude pozostávať z vektorov bázy Wk−2, ďalej z takých, ktoré sa zobrazia do uk−2 1 ,...,uk−2 i2 a nakoniec z vektorov uk−3 j zobrazujúcich sa do nuly, ktoré získame podobne ako v predchádzajúcom prípade z nejakých ľahko doplniteľných vektorov uk−3 j do bázy Wk−3: ψ(uk−3 j ) = i1 ∑ r=1 cjruk−1 r + i2 ∑ r=1 djruk−2 r , uk−3 j = uk−3 j − i1 ∑ r=1 cjruk−2 r − i2 ∑ r=1 djruk−3 r . Takýmto spôsobom zostavíme postupne bázu priestoru W: 0 0 ↑ ↑ uk−1 1 ... uk−1 i1 0 0 ↑ ↑ ↑ ↑ uk−2 1 ... uk−2 i1 uk−2 i1+1 ... uk−2 i2 0 0 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ uk−3 1 ... uk−3 i1 uk−3 i1+1 ... uk−3 i2 uk−3 i2+1 ... uk−3 i3 ... ... ... 0 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ u0 1 ... u0 i1 u0 i1+1 ... u0 i2 u0 i2+1 ... u0 i3 ... u0 ip V1 ... Vi1 Vi1+1 ... Vi2 Vi2+1 ... Vi3 ... Vp V takto zvolenej báze vidíme, že pre všetky 1 ≤ i ≤ p je endomorfizmus ψ zúžený na podpriestore Vi, ktorý je lineárnym obalom vektorov i−teho stĺpca, cyklický. 1.7 Dôkaz Jordanovej vety Máme riadne zadefinované všetky súvisiace pojmy a dokázané všetky potrebné vety a lemy na to, aby sme mohli prejsť k dôkazu Jordanovej vety. Dôkaz Jordanovej vety pre endomorfizmy. Vidíme, že podľa predpokladu o spektre vlastných čísel a vete 1.18 môžme vektorový priestor U napísať ako direktný súčet koreňových podpriestorov jednotlivých vlastných čísel: U = Rλ1 ⊕Rλ2 ⊕...⊕Rλl . Kapitola 1. Geometrický dôkaz Jordanovej vety 17 Ďalej vieme, že endomorfizmy (ϕ −λiid)ki definujúce koreňové podpriestory Rλi sú nilpotentné so stupňom nilpotentnosti ki. Koreňové podpriestory Rλi potom môžme podľa vety 1.21, kde za ψ berieme ϕ −λiid, rozložiť na direktný súčet podpriestorov: Rλi = V1,λi ⊕V2,λi ⊕...⊕Vpi,λi , kde je zúženie endomorfizmu (ϕ −λiid) na podpriestor Vj,λi cyklické pre všetky 1 ≤ j ≤ pi. To znamená, že existujú bázy αj,λi , v ktorých má matica endomorfizmu na týchto podpriestoroch jednotky nad hlavnou diagonálou a nuly všade inde. Preto môžeme zostaviť maticu endomorfizmu ϕ na Vj,λi : (ϕ|Vj,λi )αj,λi ,αj,λi =        λi 1 0 ... 0 0 λi 1 ... 0 ... ... ... 0 ... 0 λi 1 0 0 ... 0 λi        Podpriestory Vj,λi sú invariantné vzhľadom k endomorfizmu ϕ, lebo vektory bázy sa zobrazujú len do lineárnej kombinácie svojho λi−násobku a ďalšieho bázového vektora. Preto podľa vety 1.14 môžme maticu endomorfizmu v báze α poskladanej zo všetkých báz αj,λi pre 1 ≤ j ≤ pi a 1 ≤ i ≤ k napísať ako blokovo diagonálnu maticu s Jordanovými bunkami zodpovedajúcimi jednotlivým maticiam endomorfizmu na zúžených endomorfizmoch (ϕ|Vj,λi )αj,λi ,αj,λi . Ostáva nám dokázať, že táto matica endomorfizmu je určená jednoznačne až na poradie buniek. To znamená, že JKT nezávisí na báze, čiže v každej báze bude mať rovnaký počet buniek veľkosti ki,ki −1,...,1 pre všetky vlastné čísla λi, ktoré sú určené jednoznačne nezávisle od bázy. Podľa vety 1.21 získame bázu pre JKT, keď položíme ψ = ϕ − λiid|Rλi a podpriestor W = Rλi , ktorá zodpovedá schéme zo strany 16. Príslušné podmnožiny Wki−1,Wki−2, ...,W0, kde Wki−1 = Im(ϕ −λiid)ki−1, sú definované nezávisle od bázy. Preto ak ukážeme, že počet buniek určitej veľkosti závisí len od dimenzii Wki−1,Wki−2,...,W0 a nie od výberu ich báz, potom bude dôkaz hotový. Pri pohľade na schému bázy W = Rλi z predchádzajúcej strany vidíme, že počet buniek veľkosti ki pre vlastné číslo λi sa rovná i1 = dimWki−1. Počet buniek veľkosti ki −1 je rovný i2 −i1 = dimWki−2 −2dimWki−1. Počet buniek veľkosti ki −2 je dimWki−3 −2dimWki−2 + dimWki−1. Tu sa vzťah ustáli a všeobecne bude mať tvar dimWki−j−1 −2dimWki−j +dimWki−j+1 pre počet buniek veľkosti ki − j, pričom j = 2,3,...,ki −1. Takýmto spôsobom určíme počty buniek jednotlivých veľkostí vo všetkých podpriestoroch Rλi pre i = 1,2,...,l. Vidíme, že všetky skutočne závisia len od dimenzii príslušných podpriestorov Wki−1,Wki−2,...,W0 a nie od zvolených báz, čo sme chceli dokázať. Kapitola 2 Algebraický dôkaz Jordanovej vety V druhej kapitole sa budeme venovať dôkazu Jordanovej vety, ktorý využíva algebraické nástroje, najmä polynómy. Budeme postupovať rovnako ako v prvej kapitole. To znamená, že najskôr si v tematických celkoch zadefinujeme dôležité pojmy a vyslovíme dôležité vety, ktoré nám pomôžu postupne sa prepracovať až k samotnému dôkazu Jordanovej vety. V niektorých krokoch upozorníme na paralely s geometrickým dôkazom. Pri dôkaze existencie Jordanovho kanonického tvaru budeme v tejto kapitole čerpať z knihy Ladislava Bicana Lineární algebra a geometrie [1], kde sa tejto téme podrobne venuje 16. a 17. kapitola. Dôkaz jednoznačnosti a spôsob nájdenia JKT nám pomôže ozrejmiť 5. kapitola učebného textu Martina Čadka Lineární algebra a geometrie III [2]. Na začiatku predstavíme niekoľko podstatných viet o polynómoch, ktoré uvedieme bez dôkazu, pričom sa budeme odkazovať na knihu Jiřího Rosického Algebra [3]. 2.1 Vety o polynómoch Ako sme spomenuli v úvode kapitoly, algebraický dôkaz Jordanovej vety je založený najmä na práci s polynómami. Preto si zadefinujeme súvisiace pojmy ako najväčší spoločný deliteľ, či normovaný a ireducibilný polynóm. Ďalej vyslovíme dôležité vety o rôznych vlastnostiach a vzťahoch medzi polynómami, bez ktorých by sme k dôkazu Jordanovej vety nemohli pristúpiť. Množinu všetkých polynómov jednej premennej x s koeficientami z telesa T budeme označovať symbolom T[x]. Definícia 2.1. Polynóm s vedúcim koeficientom rovným jednej sa nazýva normovaný polynóm. Definícia 2.2. Polynóm stupňa väčšieho než 0, ktorý nejde rozložiť na súčin dvoch polynómov nenulového stupňa sa nazýva ireducibilný polynóm. Veta 2.3. Nech f,g sú polynómy z T[x], pričom f = 0. Potom existujú jednoznačne určené polynómy α,β ∈ T[x] také, že g = fα +β, pričom st β < st f. Dôkaz. Dôkaz možno nájsť v [3], veta II.5.16. – 18 – Kapitola 2. Algebraický dôkaz Jordanovej vety 19 Veta 2.4. Nech f ∈ T[x] je polynóm kladného stupňa. Potom môžme tento polynóm rozložiť na súčin f = afk1 1 fk2 2 ... fkr r , kde a ∈ T, f1, f2,..., fr sú rôzne normované ireducibilné polynómy z T[x] a k1,k2,...,kr sú kladné celé čísla. Koeficient a ∈ T a polynómy f1, f2,..., fr sú určené jednoznačne. Dôkaz. Dôkaz možno v [3], veta II.5.27. Definícia 2.5. Nech f1, f2,..., fr sú polynómy v T[x]. Normovaný polynóm d ∈ T[x] budeme nazývať najväčším spoločným deliteľom (NSD) polynómov f1, f2,..., fr, ak bude spĺňať nasledujúce podmienky: 1. d delí fi pre všetky i = 1,2,...,r, 2. pre každý polynóm k ∈ T[x], ktorý delí fi pre všetky i = 1,2,...,r platí, že k delí d. Veta 2.6 (Bezoutova veta). Nech f,g sú dva nenulové polynómy z T[x]. Potom existuje práve jeden ich najväčší spoločný deliteľ d. Navyše v T[x] existujú polynómy β a γ také, že platí d = β f +γg. Dôkaz. Dôkaz možno nájsť v [3], vety II.5.20. a I.3.3. Veta 2.7. Nech f1, f2,..., fr sú polynómy v T[x]. Potom existuje práve jeden ich najväčší spoločný deliteľ d. Navyše v T[x] existujú polynómy α1,α2,...,αr také, že platí d = α1 f1 +α2 f2 +...+αr fr. Dôkaz. Dôkaz urobíme indukciou podľa r. Pre r = 1 je tvrdenie zrejmé. Nech platí pre r −1 ≥ 1 a nech NSD(f1, f2,..., fr) = d. Platí d = NSD(f1, f2,..., fr) = NSD(NSD(f1,..., fr−1), fr). Využijeme Bezoutovu vetu a rozložíme d na súčet d = γ1NSD(f1,..., fr−1)+γ2 fr. (2.1) Využijeme indukčný predpoklad a rozpíšeme NSD(f1, f2,..., fr−1) = β1 f1 +β2 f2 +...+βr−1 fr−1. Dosadíme do (2.1) a dostávame d = γ1β1 f1 +γ1β2 f2 +...+γ1βr−1 fr−1 +γ2 fr. Položíme γ1β1 = α1,γ1β2 = α2,...,γ1βr−1 = αr−1,γ2 = αr a dôkaz je hotový. Nasledujúce dve tvrdenia vyplývajú práve z Bezoutovej vety. Veta 2.8. Nech f a g z T[x] sú dva polynómy také, že f je ireducibilný a nedelí g. Potom v T[x] existujú polynómy β a γ také, že fβ +gγ = 1. Kapitola 2. Algebraický dôkaz Jordanovej vety 20 Dôkaz. Veta vyplýva priamo z Bezoutovej vety 2.6, kde jedinými deliteľmi polynómu f sú polynóm nultého stupňa a on sám, zatiaľ čo z prepdokladu vidíme, že f nie je deliteľom g. Takže NSD je polynóm nultého stupňa, ktorý sa v normovanom stave rovná jednej. Veta 2.9. Nech polynóm f ∈ T[x] je kladného stupňa. Podľa vety 2.4 ho môžme rozložiť na súčin koeficientu z T a normovaných ireducibilných polynómov z T[x] takto: f = afk1 1 fk2 2 ... fkr r . Pre i = 1,2,...,r označíme symbolom fi súčin všetkých polynómov f kj j okrem fki i . Potom f = fki i fi a navyše platí: 1. pre každé i = 1,2,...,r existujú v T[x] polynómy βi,γi také, že platí rovnosť fki i βi + fiγi = 1 2. v T[x] existujú prvky α1,α2,...,αr také, že platí rovnosť f1α1 + f2α2 +...+ frαr = 1. Dôkaz. Dôkaz prvého bodu vychádza z Bezoutovej vety 2.6, kde fki i a fi nemajú podľa definície spoločného deliteľa a preto ich NSD je rovný 1. Dôkaz druhého bodu vychádza z vety 2.7, kde z definície fi vidíme, že NSD(f1, f2,..., fr) = 1. 2.2 Vektorový priestor s endomorfizmom ako T[x]-modul Nasledujúca podkapitolasa venujedefinícii modulu. Ukážeme akopomocou endomorfizmu ϕ : U → U môžme na U definovať štruktúru T[x]-modulu. Najskôr si však pripomeňme niektoré základné pojmy z algebry, vďaka čomu sa budeme lepšie orientovať v rôznych štruktúrach. Štruktúru (R,+,·,1) nazývame okruh s jednotkovým prvkom, pokiaľ (R,+) je abelovskou grupou a v (R,·) platí asociativita a existuje v nej jednotkový prvok, pričom v okruhu je násobenie distributívne vzhľadom k sčítaniu. Pripomeňme, že v abelovskej grupe platí medzi prvkami asociativita a komutativita, a existuje v nej nulový aj opačný prvok. Komutatívnym okruhom nazveme okruh, kde operácia násobenia je komutatívna. Komutatívny okruh s inverzným prvkom nazývame telesom a označujeme T. Množina všetkých polynómov T[x] s koeficientami z telesa T tvorí komutatívny okruh. Množina všetkých matíc Matn(T) s prvkami z telesa T tvorí nekomutatívny okruh. Abelovskú grupu M nazveme ľavý R−modul, pokiaľ existuje zobrazenie R×M → M s vlastnosťami: • (r1 +r2)m = r1m+r2m • r(m1 +m2) = rm1 +rm2 • r1(r2m) = (r1r2)m • 1m = m Kapitola 2. Algebraický dôkaz Jordanovej vety 21 Definícia 2.10. Pokiaľ U je vektorový priestor dimenzie n nad telesom T a ϕ : U → U je endomorfizmus na tomto priestore, tak na U môžme definovať štruktúru T[x] − modulu, v ktorom sa násobenie polynómom f = ∑m i=0 aixi definuje fu = m ∑ i=0 aiϕi (u). Podmodul T[x]-modulu U je podpriestor V taký, že fv ∈ V pre všetky f ∈ T[x] a v ∈ V. Ekvivalentne to znamená, že V je ϕ−invariantný podpriestor. Definícia 2.11. Nech u ∈ U \{0}. Normovaný polynóm mu najmenšieho možného stupňa, pre ktorý platí muu = 0, sa nazýva minimálny polynóm vektoru u. Normovaný polynóm mU,ϕ najmenšieho možného stupňa, pre ktorý platí mU,ϕu = 0 pre všetky u ∈ U, sa nazýva minimálny polynóm endomorfizmu ϕ na priestore U. Veta 2.12. Buď U vektorový priestor dimenzie n nad telesom T. Potom platí: 1. pre každý vektor u ∈ U existuje minimálny polynóm mu, 2. gu = 0 pre nejaký polynóm g ∈ T[x], práve keď mu|g, 3. existuje minimálny polynóm mU,ϕ priestoru U, 4. gu = 0 pre nejaký polynóm g a pre každé u ∈ U, práve keď mU,ϕ|g. Dôkaz. 1. Nech U je vektorový priestor dimenzie n. Majme ľubovoľný vektor u ∈ U. Vektory u,ϕ(u),...,ϕn(u) budú lineárne závislé, keďže ich počet je väčší ako dimezia U a preto ∑n i=0 aiϕi(u) = 0 pre nejaké nie všetky nulové a0,a1,...,an. Potom je polynóm f = ∑n i=0 aixi nenulový a fu = ∑n i=0 aiϕi(u) = 0. Stačí nájsť normovaný polynóm najmenšieho stupňa splňujúci podmienku fu = 0. 2. Najprv ak mu|g, tak g = muh pre nejaký polynóm h ∈ T[x] a gu = hmuu = 0. Naopak ak gu = 0, tak podľa vety 2.3 existujú polynómy q,r ∈ T[x], pre ktoré platí g = muq + r a st r