Seminář z matematiky II – jaro 2023 – 8. písemka
1. (5 bodů) Přímo z definice spojitosti a z vlastností suprém a infim na reálných
číslech dokažte, že je-li funkce f : R → R spojitá a platí f(0) < f(1), potom
existuje a ∈ 0, 1) takové, že pro všechna b ∈ (a, 1 platí f(a) < f(b). Ukažte, že
bez předpokladu spojitosti tvrzení neplatí.
2. (5 bodů) Přímo z vlastností suprém a infim na reálných číslech dokažte pro
funkci f : R → R, že pokud pro každé a ∈ 0, 1 existuje δ > 0, pro něž je funkce
f konstantní na intervalu (a − δ, a + δ), potom platí f(0) = f(1). Ukažte, že se
slabším předpokladem, že f je konstantní na intervalu a, a + δ), tvrzení neplatí.