2. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 5. 3. 2024
1. Pro vektory u1}u2,... ,uk ve vektorovém prodstoru U nad K definujeme tyto dvě množiny:
(1) [iti, u2, ...,uk] = {aiui + a2u2 H-----h akuk E U;a1,a2,... ,ak E K}.
(2) (mi, u2, ..., Uk) je nejmenší vektorový podprostor v U obsahující vektory Ui,u2,...
Doakžte, že
[ui,u2, ...,Uk] = (lti,1t2, • • -,uk).
2. Uvažujme opět vektorový prostor U a v něm dva vektorové podprostory V a W. Dokažte, že následující dva výroky jsou ekvivalentní.
(1) vnw = {0}.
(2) (Vit EV + W)(3\v E V)(3\w E W)(u = v + w).
3. Definujte infimum množiny reálných čísel. Pomocí infima ukažte, že každá klesající posloupnost kladných čísel má limitu.
4. Nechť f a, g jsou reálné funkce takové, že pro a G IR je lim^a f(x) = L E IR a \imx^ag(x) = oo. Dokažte z definice limity, že
lim(/(rr) + g{x)) = oo.
5. Je-li íp : U —> V prosté lineární zobrazení, pak platí, že z lineární nezávislosti vektorů Ui,u2,... ,uk v U, plyne lineární nezávislost vektorů <p(ui), íp(u2), ■ ■ ■ ,^>(uk) v prostoru V. Dokažte.
l