4. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 19. 3. 2024
1. Nechť funkce / : (a, b) —> IR je spojitá a nenulová. Pak rovněž funkce l/f(x) je spojitá v každém bodě intervalu (a, b). Dokažte. Před důkazem spojistostii v bodě c G (a, b) dokažte
(3K > 0) (36 >0)Vx e (c - ô,c + ô) \f(x)\ > K. Budete to potřebovat.
2. Nechť [an, bn] pro n G N je systém do sebe vložených intervalů
[an+i,bn+1] C [an,Ďn].
Pomocí suprema vhodné množiny dokažte, že průnik všech těchto intervalů je neprázdný, tj-
n~[a„,6„] ^0. Ukažte, že tvrzení neplatí pro otevřené intervaly.
3. Nechť U = {a + b^3 G IR; a, 6 G Q}. Dokažte, že to je vektorový prostor nad racionálními čísly Q, najděte nějakou jeho bázi a dokažte, že je to skutečně báze.
4. Cauchyova nutná a postačující podmínku pro existenci vlastní limity lim^a f(x) je
(V£>0) (35>0) (Vx,ye (a-ô,a + ô)-{a}) \f(x)-f(y)\<e.
(1) Dokažte, že je to podmínka nutná.
(2) Pomocí této podmínky dokažte, že
lim sin —
x^O X
neexistuje.
5. Nechť U je vektorový prostor se skalárním součinem a nechť P : U —^ U je kolmá projekce na podprostor V C U. Dokažte, že
(1) P o P = P ( symbol o znamená skládání zobrazení).
(2) Pro všechna u,v G U platí
(Pu, v) = (u, Pu). ((u,v) značí skalární součin.)
l