5. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 2. 4. 2024
1. Napište si přesná znění těch tvrzení, která jsme v semináři dokázali na základě axiomu o supremu. Některá z nich můžete použít při řešení následujících úloh.
2. Pro každé n G N máme uzavřený interval [cn, dn]. Nechť
n^=i[cn,4] = 0.
Potom existuje A; G N takové, že
n*=i [cn,dn] = 0.
Dokažte.
3. Cauchyova nutná a postačující podmínku pro existenci vlastní limity posloupnosti limn^00 xn říká
(Ve > 0) (3p G N) (Vfc, n > p) \xn - xk\ < e.
(1) Dokažte, že je to podmínka nutná.
(2) Dokažte, že je to podmínka postačující.
4. Nechť spojitá funkce / : [a, b] —> IR má derivaci ve všech bodech otevřeného intervalu (a, b) a f {a) = f(b). Dokažte, že pak existuje bod c G (a, b) takový, že derivace funkce / v bodě c je
m = o.
Návod: Pokud / není na [a, b] konstantní, uvažujte bod, v němž nabývá svého maxima nebo minima.
5. Řekneme, že reálná funkce / : IR —y IR je lokálně konstantní v bodě c, jestliže existuje ô > 0 takové, že / je konstantní na intervalu (c — ô, c + ô). Dokažte, je-li / lokálně konstantní v každém bodě, je konstantní na celém IR.
Návod: Ukažte, že / je konstantní na každém uzavřeném intervalu [a, b].
l