6. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 9. 4. 2024 Důkazy vět, které znáte z prvního semestru lineární algebry.
1. Ve vektorovém prostoru U nad K máme posloupnost lineárně nezávislých vektorů Vi, v2, . . ., Vk a další posloupnost vektorů u1} u2,..., un. Dokažte indukcí podle n, že z vektorů druhé posloupnosti lze vybrat několik vektorů uil,uÍ2,...,uip tak, že platí
(1) Vektory v±,v2,... ,Vk,Ui1,Ui2,... ,Ui jsou lineárně nezávislé.
(2) Pro lineární obaly platí
[vi,v2,... ,vk,uh,ui2,.. .,uip] = [v1}v2,.. .,vk,u1,u2, ■ ■ .,«„].
2. Pomocí předchozího tvrzení dokažte: Je-li U konečně generovaný vektorový prostor, pak lze každý seznam lineárně nezávislých vektorů v1}v2,... ,vk doplnit na bázi.
3. Dokažte Steinitzovu větu: Nechť ve vektorovém prostoru U platí, že [v1}v2,..., vk] C [ui, u2,..., un]. Jestliže jsou vektory v1} v2,..., vk lineárně nezávislé, pak k < n. Návod: Místo implikace dokazujte její obměnu.
4. Pomocí Steinitzovy věty dokažte:
(1) Každé dvě báze v konečně generovaném vektorovém prostoru mají stejný počet vektorů. (To umožňuje definovat korektně dimenzi.)
(2) Podprostor V konečně generovaného podprostoru U je konečně generovaný a dim V < dim U.
5. Pomocí tvrzení úloh 2 a 4(2) dokažte, že pro konečně dimenzionální prostor U a lineární zobrazení ip : U —> V platí
dim U = dim ker ip + dim im ip.
l