7. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 16. 4. 2024
1. Pomocí vět dokazovaných v minulé (tj. 6.) domácí úloze dokažte:
(a) Je-li V podprostor prostoru U konečné dimenze a dim V = dim U, pak V + U.
(b) Pro vektorové podprostory U a V v konečně generovaném prostoru Z platí
dim(f/ H V) + dim(f/ + V) = dim U + dim V.
2. Pomocí věty o střední hodnotě
Je-li / : [a, b] —> IR spojitá a má derivaci na (a, 6), pak existuje c G (a, b) tak, že
dokažte:
Má-li funkce / : (c, d) —y IR kladnou derivaci v každém bodě, je na (c, d) rostoucí. 3. Dokažte, že podmnožina reálných čísel
s operacemi sčítání a násobení racionálních čísel je těleso (tj, K s operací sčítání je komutativní grupa, K — {0} s operací násobení je komutativní grupa).
5. Dokažte, že každá neklesající funkce / : IR —> IR má pouze spočetně mnoho bodů, v nichž není spojitá.
Návod: Každému bodu nespojitosti a přiřaďte neprádný interval
K= {a + bVŽ; a,b G
Q}
4. Nalezněte nějakou bázi a určete dimenzi podprostoru generovaného množinou {y/Š, y/E, y/6} ve vektorovém prostoru IR nad K = {a + by/2; a, b E Q}.
Vysvětlení: Jde vektorový prostor V = {py/Š + qyfb + r y/6; p,q,r G K} nad K.
l