8. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 16. 4. 2024
1. Buď V vektorový prostor, v1}... ,vn G V vektory a <p: V —> V lineární zobrazení. Přímo z definice lineární nezávislosti dokažte, že jsou-li vektory
Vl ~ ip(v!),V2 ~ ip(v2), ...,Vn- (f(vn)
lineárně nezávislé, tak i vektory v1} v2,..., vn jsou lineárně nezávislé. Ukažte, že opačná implikace obecně neplatí.
2. Zopakujme si definici stejnoměrné spojitosti funkce / na intervalu J: Funkce / : / —> IR je stejnoměrně spojitá na J, jestliže
Ve > 0 30 > 0 Wx,y G / (\x - y\ < 0^ \f(x) - f(y)\ < e)
Z této definice dokažte:
(1) Funkce f(x) = x2 je stejnoměrně spojitá na každém intervalu [a, b], a, b G IR.
(2) Funkce f(x) = x2 není stejnoměrně spojitá na intervalu (1, oo).
3. Pomocí věty o střední hodnotě dokažte: Je-li / : I —> IR funkce, která má na intervalu I omezenou první derivaci v každém bodě, pak je / stejnoměrně spojitá na intervalu I.
4. Má-li funkce / : I —> IR v každém bodě intervalu I derivaci a pro a < b platí f (a) < 0 < f'(b), pak existuje c G [a, b] takové, že /'(c) = 0.
l