9. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 30. 4. 2024
1. Dokažte, že každá spojitá funkce / : [a, b] —> IR je stejnoměrně spojitá. Ukažte na protipříkladu, že tvrzení neplatí pro otevřený interval (a, b).
Návod. Můžete to dělat sporem (nebo nepřímo) s použitím faktu, že každá posloupnost v intervalu [a, b] má konvergentní podposloupnost s limitou v [a, b].
2. Nechť <p> : U —> U je lineární samoadjungovaný operátor takový, že <p> o tp = tp, tj. <p(íp(uj) = <p(u) pro všechny vektory u G U. Dokažte, že <p je kolmá projekce na nějaký podprostor prostoru U.
3. Nechť <p : U —> U je lineární samoadjungovaný operátor takový, že >p> o tp = id, tj. ip(ip(u)) = u pro všechny vektory u G U. Dokažte, že <p> je symetrie podle nějakého podprosoru prostoru U.
4. Nechť Ki,K2, K%, K4 jsou konvexní množiny v rovině. Jestliže každé tři z nich mají neprázdný průnik, pak průnik všech čtyř je neprázdný.
Na základě tohoto tvrzení, dokažte analogické tvrzení pro n > 4 konvexních množin.
1