Jméno:
1	2	3	Celkem
			
1. písemka ze semináře z matematiky II
1. (4 body)
Nechť f a, g jsou reálné funkce takové, že pro a G IR je lim^a f(x) = L G IR a linx^a g(x) = oo. Dokažte z definice limity, že
lim(/(rr) + g{x)) = oo.
2. (4 body)
Vektory u1}u2,... ,uk ve vektorovém prostoru U nad K tvoří bázi, jestliže platí:
(1) (Vit G Č7) 3(ai, a2, • • •, ak G Kfc : u = a^u^ + a2^2 H-----V a-kUk-
(2) V(ai, a2 ..., ak) G Kfc : ai^i + a2^2 H-----h akuk = 0 =>- ai = a2 = ■ ■ ■ = ak = 0.
Dokažte, že podmínky (1) a (2) jsou ekvivalentní s podmínkou
(3) (Vit G f/) 3!(a1; a2, . . ., ak G Kfc) it = d\U\ + a2w2 + • • • + Symbol 3! znamená existuje právě jedno.
3. (4 body)
Definujte infimum množiny reálných čísel. Pomocí infima ukažte, že každá klesající funkce / : (0, oo) —y (0, oo) má vlastní limitu
lim f(x) =LeR.