Jméno:
1	2	3	Celkem
			
2. písemka ze semináře z matematiky II
1. (4 body)
Nechť funkce / : IR —y IR je spojitá v bodě a a f (a) ^ 0. Dokažte, že funkce 1/f(x) je definována na nějakém okolí bodu a a je v bodě a spojitá.
2. (4 body)
Nechť U = {ay/Š + by/% eR;a,be Q}. Dokažte:
(a) U je vektorový prostor nad racionálními čísly Q (1 bod),
(b) Reálná čísla y/Š a y/b tvoří jeho bázi (3 body).
3. (4 body) Nechť M je podmnožina intervalu [a, b] s těmito vlastnostmi:
(1) a EM,
(2) Je-li iGlai/ř), pak existuje ô > 0 takové, že [x, x + ô) C M,
(3) Je-li {i;n}™=1 rostoucí posloupnost prvků množiny M a
lim xn = x,
pak x G M. Dokažte, že M = [a, b].