1 2 3 Celkem 3. písemka ze semináře z matematiky II 1. (4 body) Nechť posloupnost {:rn}^Li leží celá v intervalu [a, b]. Dokažte, že existuje podposloupnost {xrii}(*L1, která je konvergentní a její limita leží v intervalu [a, b]. Návod. Můžete použít tvrzení o průniku uzavřených intervalů. 2. (4 body) Řekneme, že reálná funkce / : IR —y IR je lokálně rostoucí v bodě c, jestliže existuje ô > 0 takové, že / je rostoucí na intervalu (c — ô, c + ô). Dokažte, je-li / lokálně rostoucí v každém bodě, je rostoucí na celém IR. (3 body) Návod: Ukažte, že / je rostoucí na každém uzavřeném intervalu [a, b]. Ukažte na příkladu, že tvrzení neplatí, pokud budeme předpokládat pouze, že / je lokálně rostoucí zprava, tj. pro každé c existuje ô > 0 tak, že / je rostoucí na [c, c + ô). (1 bod) 3. (4 body) Nalezněte nějakou bázi a určete dimenzi podprostoru generovaného množinou r i i ii \x' x — V x1 — x J ve vektorovém prostoru {/ : IR —> IR} nad IR.