Program 4, semináře z matematiky II Řešení příkladů z 1. písemky. Řešení 2. domácí úlohy.
1. Pro vektory Ui,U2,... ,uk ve vektorovém prodstoru U nad K definujeme tyto dvě množiny:
(1) [iti,u2, ■ ■ ■ ,uk] = {diUi + a2u2 H-----h akuk E U;a1,a2,... ,ak E K}.
(2) (ui, u2, ..., uk) je nejmenší vektorový podprostor v U obsahující vektory u1}u2,..
Dokažte, že
[ul7u2, ...,uk] = (ul7u2,... ,uk).
2. Uvažujme opět vektorový prostor U a v něm dva vektorové podprostory V a W. Dokažte, že následující dva výroky jsou ekvivalentní.
(1) vnw = {0}.
(2) (Vit EV + W)(3\v E V)(3\w E W)(u = v + w).
3. Je-li íp : U —> V prosté lineární zobrazení, pak platí, že z lineární nezávislosti vektorů u1}u2,... ,uk v U, plyne lineární nezávislost vektorů </?(iti), (p(u2),... ,tp(uk) v prostoru V. Dokažte.
Další úlohy
4. Nechť U je vektorový prostor a ip : U —> U lineární zobrazení takové, že ip o tp = 0. Pak je prostor U direktním součtem
U = ker(ip) © im(ip).
Dokažte.
5. Nechť / : [a,b] —> IR je spojitá a /(a) > c > f (b). Pomocí infima vhodné množiny dokažte, že existuje y E [a, b] takové, že f(y) = c.
l