Program 6. semináře z matematiky II
Řešení písemky
1. Nechť funkce / : IR —y IR je spojitá v bodě a a f (a) ^ 0. Dokažte, že funkce 1/f(x) je definována na nějakém okolí bodu a a je v bodě a spojitá.
2. Nechť U = {ay/Š + by/5 G M; a, & G Q}. Dokažte:
(a) U je vektorový prostor nad racionálními čísly Q (1 bod),
(b) Reálná čísla y/Š a y/b tvoří jeho bázi (3 body).
3. Nechť M je podmnožina intervalu [a, b] s těmito vlastnostmi:
(1) a EM,
(2) Je-li iGlai/ř), pak existuje ô > 0 takové, že [x, x + ô) C M,
(3) Je-li {ícn}^i rostoucí posloupnost prvků množiny M a
lim xn = x,
pak x G M. Dokažte, že M = [a, b].
Řešení domácí úlohy
4 Nechť [an,Ďn] pro n G N je systém do sebe vložených intervalů [an+i, 6n+i] C [an,&n]- Pomocí suprema vhodné množiny dokažte, že průnik všech těchto intervalů je neprázdný, tj.
n~[a„,6„] ^0. Ukažte, že tvrzení neplatí pro otevřené intervaly.
5. Cauchyova nutná a postačující podmínku pro existenci vlastní limity lim^a f(x) je
(V£>0) (35>0) (Vx,ye (a-ô,a + ô)-{a}) \f(x)-f(y)\<e.
(1) Dokažte, že je to podmínka nutná.
(2) Pomocí této podmínky dokažte, že lim^o sm \ neexistuje.
6. Nechť U je vektorový prostor se skalárním součinem a nechť P : U —^ U je kolmá projekce na podprostor V C U. Dokažte, že
(1) P o P = P ( symbol o znamená skládání zobrazení).
(2) Pro všechna u,v G U platí
(Pu, v) = (u, Pu). ((u,v) značí skalární součin.)