Úlohy řešené na 7. semináře z matematiky II Řešení písemky
1. Nechť funkce / : IR —y IR je spojitá v bodě a a f (a) ^ 0. Dokažte, že funkce 1/f(x) je definována na nějakém okolí bodu a a je v bodě a spojitá.
2. Nechť U = {ay/Š + by/5 G M; a, & G Q}. Dokažte:
(a) U je vektorový prostor nad racionálními čísly Q (1 bod),
(b) Reálná čísla y/Š a y/b tvoří jeho bázi (3 body).
3. Plíživé lemma Nechť M je podmnožina intervalu [a, b] s těmito vlastnostmi:
(1) a EM,
(2) Je-li iGlai/ř), pak existuje ô > 0 takové, že [x, x + ô) C M,
(3) Je-li {ícn}^i rostoucí posloupnost prvků množiny M a
lim xn = x,
pak x G M. Dokažte, že M = [a, b].
Další úlohy
4. Pomocí předchozího plíživého lemmatu dokažte, že každá spojitá funkce / : [a, b] —> IR je shora omezená.
5. Dokažte, že každá spojitá funkce / : [a, b] —> IR nabývá svého maxima v nějakém x0 G [a, b]. (Použije se výsledek úloh 4 a 1.)
6. Každá posloupnost čísel xn G [a, b] obsahuje konvergentní podposloupnost. Limita této podposloupnosti leží v [a, b]. (To znamená, že uzavřený interval je kompaktní metrický prostor.)